- •Сергель О. С.
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ
- •1.2. МОЛЕКУЛЯРНОЕ СТРОЕНИЕ
- •1.3. СПЛОШНОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •1.4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЙ ОБЪЕМ
- •1.5. ВЯЗКОСТЬ ИЛИ ВНУТРЕННЕЕ
- •ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
- •1.6. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •ГИДРОСТАТИКА
- •2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
- •2.2. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
- •2.3. АБСОЛЮТНОЕ РАВНОВЕСИЕ
- •НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ
- •2.4. СИЛА ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
- •2.7. РАВНОВЕСИЕ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
- •2.8. РАВНОВЕСИЕ ГАЗОВ. МЕЖДУНАРОДНАЯ СТАНДАРТНАЯ АТМОСФЕРА
- •КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
- •3.1. МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •dxlu^dyl'0—dzl'w. (3.9)
- •3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
- •3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
- •3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
- •3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ
- •ИЗ ПРОСТЕЙШИХ
- •3.10. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
- •4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.3. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ*
- •4.4. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)
- •4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
- •4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
- •4.10. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
- •4.11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •4.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •5.1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
- •5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
- •5.3. КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
- •5.4. КРИТЕРИИ ТЕПЛОВОГО ПОДОБИЯ
- •5.5. СОСТАВЛЕНИЕ КРИТЕРИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
- •5.6. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •6.2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
- •6.3. ПУЛЬСАЦИОННОЕ И ОСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
- •6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ (КАЖУЩИЕСЯ) ТУРБУЛЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
- •6.5. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
- •6.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ЧИСЛУ РЕЙНОЛЬДСА
- •6.7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
- •ЛАМИНАРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРАВЛИКИ)
- •7.1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
- •7.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКОВ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ
- •7.3. О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ
- •8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
- •8.2. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
- •8.3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ
- •8.4. РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ТРУБАХ С НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
- •9.3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
- •ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
- •10.1. ПРОСТОЙ ТРУБОПРОВОД
- •10.2. СЛОЖНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •11.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ ИЛИ УРАВНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ.
- •11.2. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ
- •11.5. ЗАКОН ОБРАЩЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИИ
- •11.6. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧИСЛАМ
- •11.7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ (ЗВУКОВЫХ) ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
- •СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ (УДАРНЫЕ ВОЛНЫ)
- •12.1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •12.2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •ПОТОКАХ
- •12.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
- •ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК
- •14Л. РАСХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.3. ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ТРЕНИЯ
- •14.5. КОМБИНИРОВАННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
- •15.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ НА ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
- •15.7. РЕАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СУЖАЮЩИХ СОПЛАХ И СОПЛАХ ЛАВАЛЯ
- •Глава 16 ДИФФУЗОРЫ
- •16.2. ДИФФУЗОРЫ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ
- •16.3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ДИФФУЗОРЫ
- •ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ
- •18.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ДЛЯ РЕШЕТОК
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
Рис. 4.8. Схема |
центробежного Рис. 4.9. Иллюстрация |
к выводу |
компрессора |
дифференциального уравнения дви |
|
|
жения |
|
простейшую и наиболее часто употребляемую форму |
|
|
|
М, = У ?г= 0(Г ваг2- « ^ в1г1). |
(4.27) |
В соответствии с (4.27), момент равнодействующей внешних сил относительно произвольной оси равен приращению момента секунд ного количества движения жидкости GWur на участке струйки 1—2, относительно той же оси.
Задача 4.9. Укажите условия, необходимые и достаточные для увеличения, уменьшения и постоянства момента секундного количества движения вдоль эле ментарной струйки относительно заданной оси..
В р а щ е н и е ж и д « о с т и л о и н е р ц и и . |
Если момент внеш |
них сил относительно данной оси равен нулю |
(М .=0), то момент |
секундного количества движения сохраняет постоянное значение и
жидкость вращается по инерции |
|
WU2r2 = Wulr1= Wuг = const; U7a=const/r. |
(4.28) |
Итак, вращение жидкости по инерции подчиняется закону по тенциального вихря (см. п. 3.8, рис. 3.8).
Задача 4.10. Подсчитать механическую энергию (мощность), сообщаемую воздуху рабочим колесом центробежного компрессора (рис. 4.8), если дано: рас
ход воздуха 0 |
= |
25 кг/с; |
вход — осевой (Wi параллельна оси); №2=495 м/с; |
«2=25° Ответ |
|
W =5 -1 0 3 |
кВт. |
4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Дифференциальные уравнения, удовлетворяющие любой точке пространства, позволяют определить искомые поля (0.1).
На рис. 4.9 представлены произвольно выбранный элементарный жидкий объем dV=dxdydz постоянной массы dm = QdV=Qdxdydz и действующие на него напряжения массовых и поверхностных сил. Для примера нанесены только поверхностные напряжения, дейст вующие на грани, нормальные к оси х. .Первый индекс у тангенци ального -напряжения обозначает ось координат нормальную к гра ни, на которую оно действует; второй —ось на которую оно проек-
тируется. Индекс у нормального напряжения обозначает ось коор динат, на которую оно проектируется.
Составим уравнение движения элементарного жидкого объема
в проекциях на ось х, используя проекцию на |
ось х уравнения |
(4.2): |
/ |
d(uQdV)/dt=QdVdu/dt = b.Rx. |
(4.29) |
Проекция на ось х равнодействующей ARX складывается из про екций массовой силы, сил нормальных и тангенциальных напря жений
|
|
Д/?Л= XQdV |
dx — a*j dydz ф- |
||
+ [ е |
их |
dy - v ) |
dxdz + {xzx+ |
-p p ■dz —x. х) dxdy^ |
|
|
подставляя ARx в (4.29), сокращая на dV= |
||||
Раскрывая скобки, |
|||||
=dxdydz, |
выражая |
полную производную |
dujdt в соответствии с |
||
(3.6) и производя аналогичные выкладки для осей у и г, получим
уравнения движения |
в напряжениях |
|
|
||
Q |
da |
( да . |
да , |
да , |
да\ |
= |
0 ------ \-11------\-V ------[-W |
= |
|||
|
dt |
\ dt |
дх |
ду |
дг ) |
= qX + ( * £ + ? * * + .
|
|
|
|
|
' |
\дх |
|
' |
ду |
1 |
дг |
|
|
|
|
|
|
dv |
(dv |
. |
dv |
, |
dv , |
|
|
dv\ |
„ |
, |
/ |
' x y |
|
d<*y , |
dxzy\ |
||
Q « = |
e ( * |
+ |
u ! i + |
v x |
+ |
|
w |
^ ) = < i r + { |
|
dx |
|
~~dy |
dz ) |
||||
|
|
dw |
I dw |
, |
|
dw |
, |
dw |
|
|
dw . |
|
(4.30) |
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||
|
Q----- = Q [ --------- \-U |
-------- \-V |
~дГ |
|
W ---- |
|
|
||||||||||
|
|
dt |
\ |
dt |
|
| |
dt i |
|
|
|
dt |
) " |
|
||||
|
|
|
= e Z + ( |
^ |
+ |
^ |
+ |
^ |
) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
\ дх |
^ |
dy |
~ |
dz |
|
|
|
|
|||
Уравнения |
(4.30) |
содержат девять новых неизвестных: три нор |
|||||||||||||||
мальных и шесть тангенциальных. Выразим эти |
новые |
неизвест |
|||||||||||||||
ные через основные — и, |
v, |
w, |
р, |
Q, |
используя |
обобщенный закон |
|||||||||||
Ньютона о том, что напряжения в жидкости пропорциональны ско ростям соответствующих относительных деформаций.
Касательные напряжения равны приведениям соответствую щих скоростей относительных деформаций сдвига на коэффициент вязкости жидкости. В соответствии с равенством парных скоростей относительных деформаций сдвига (3.28) равны и парные танген циальные напряжения, т. е.
- |
- |
/ ди |
| |
dv \ |
|
_ |
/ ди |
dw |
||
|
|
ду + |
д х )> Х^ - Хг х - ^ [ - |
dz |
дх |
h |
||||
|
|
dy |
' |
dx Г |
|
~ |
1 V |
|
||
|
|
_______ _ |
( dv |
, |
dw \ |
|
|
|
(4.31) |
|
|
|
yz |
zy~ V‘ [d z |
+ |
d y ) ' |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
Итак, новых неизвестных шесть, а не девять.
Нормальные напряжения вызывают деформацию жидкости не только в направлении их действия, но и в перпендикулярных, при водя к деформациям сдвига и объемной. Наглядной моделью тако го явления может служить растяжение резинового стержня, умень шающегося при этом © диаметре. Исследования показывают, что нормальные напряжения зависят от давления и линейных (е) и объемных (е) скоростей относительных деформаций элемента жид кости [1]
° х = - р + 2 р * х — g - t * e = - / > + ^ ;
0у= —р-\-2р&д— |- Н- е = |
— |
(4.32) |
2 |
~ ^ + ° г’ |
|
°z= — jP + V z — -д-|*е = |
|
где о*, Gy , GZ — слагаемые проекций нормальных напряжений, ко торые так же, как и тангенциальные напряжения (4.31), зависят от вязкости и выражаются через скорости линейных и объемных относительных деформаций и р
я |
о |
2 |
п da |
2 |
(да |
|
(4.33) |
|
|
— |ie = 2|i — |
— |л |
|
|
||
Задача 4.11. Напишите выражения ау" |
и аг" |
и выражения О х ", |
сТу", |
az" для |
|||
несжимаемой и для идеальной жидкостей. |
в напряжениях (4.30) |
с уче |
|||||
Перепишем |
уравнения |
движения |
|||||
том (4.31) |
и (4.32) в Н/м3. |
|
|
|
|
|
|
|
е |
da |
|
|
|
|
(4.34) |
|
dt |
|
|
|
|
||
Задача 4.12. Запишите дифференциальные уравнения движения в напряже |
|||||||
ниях в проекциях |
на оси у и г и опишите физический смысл их. |
Установите, |
|||||
сколько неизвестных напряжений содержат три уравнения типа (4.34). |
|
||||||
4.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|||||
НАВЬЕ-СТОКСА (1845 г.) |
|
|
|
|
|||
Подставим |
в уравнения (4.30) значения тангенциальных (4.31) |
||||||
и нормальных |
(4.32) напряжений, примем, что р постоянно по всей |
||||||
области течения. После преобразований и замены р/Q= V получим уравнения Навье-Стокса — дифференциальные уравнения неустановившегося пространственного движения сжимаемой вязкой жид кости
да |
| да |
, |
|
>да |
, |
да |
„ |
1 др |
, |
/ д2а |
, |
д2а |
, |
||
-----\-и |
-----\-Ч) |
----- \~w---= Л -------+ V ----- -----1--------b |
|||||||||||||
dt |
дх |
|
|
ду |
|
dz |
|
Q |
дх |
|
\cb:2 |
|
ду2 |
|
|
I |
д2“ \ |
\ |
1 |
v |
д |
(ди |
I dv |
I dw \ • |
|
|
|
|
|
(4.35) |
|
|
|
|
3 |
дх \дх ^ |
ду |
дг ) |
' |
|
|
|
|
|
|||
dv |
, |
dv |
, |
|
dv |
, |
dv |
„ |
1 |
др |
, |
/ d2v |
, |
d2v |
, |
— + K — + ^ — + да— |
£ - + v (— |
2 |
+ - ^ - + |
||||
dt |
dx |
dy |
dz |
Q dy |
\dx |
|
|
, |
& v\ |
. |
1 |
|
д |
|
|
|
|
+ |
» ) + |
T |
v i - |
|
|
|
|||
dw |
|
dw |
i |
dw |
. |
dw |
|
||
~dt~ |
u ------\- v ------\-w ---- |
|
|||||||
|
|
dx |
|
dy |
|
dz |
|
||
■ cfiw |
|
| cfiw \ - |
1 |
d |
fdu |
dv |
|||
|
dt/2 |
|
|
dz%) |
3 |
dz |
[dx |
dy |
|
d_P_ |
f (4.35) |
dz |
Используя символы полной производной (3.6), оператора Лап ласа (3.45) и дивергенции (3.27), получим уравнения Навье-Сток са в более компактной форме
at
dv |
— |
|
vkv-\- — |
(4.36) |
|
~~dt |
udy |
||||
Q |
3о |
uoy |
|||
dw |
|
|
1 |
|
|
dt |
— -^-4-vA'0>-|-— Vv — div W. |
||||
в |
dz |
3 |
dz |
||
Умножая уравнения (4.36) соответственно на i, j, k и склады* вая, получим вместо трех одно уравнение Навье-Стокса в вектор* ной форме:
— |
= Г — - grad |
v grad (div#). |
(4.37) |
dt |
Q |
3 |
|
На основании |
(4.37) заключаем, |
что вектор полного |
ускорения |
жидкой частицы равен векторной сумме ускорений, вызванных от дельными силами так, как будто бы каждая из этих сил действует на частицу в отдельности. На основании уравнений (4.35) и (4.37) можно сделать аналогичное заключение о проекциях ускорений на оси х, у, z.
Если (4.37) умножить на плотность Q, то придем к выводу, что сила инерции частицы равна векторной сумме всех сил, действую щих на нее.
Уравнения (4.35) ... (4.37) лежат в основе современной механи ки сжимаемой вязкой жидкости. Одним из основных граничных ус ловий, применяемых при их интегрировании, является равенство нулю скорости жидкости на поверхности обтекаемых твердых тел (см. п. 1.5).
Интегрирование уравнений Навье-Стокса для общего случая движения сжимаемой вязкой жидкости встречает непреодолимые математические трудности. Поэтому большинство гидродинамичес ких задач решается приближенно и тогда в уравнениях НавьеСтокса пренебрегают членами, влияние которых не велико по срав нению с остальными.
Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости получим, положив в уравнениях (4.35) ... (4.37) последний член, выражающий скорость относительной объемной деформации, рав
ным нулю e= div U7=0: