(4.38)

Точные решения этих уравнений получены лишь для немногих простейших течений.

Задача 4.13. Получите дифференциальные уравнения равновесия жидкости (2.1) из уравнений Навье-Стокса (4.35).

4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

dv/dt и dw/dt с положительным и отрицательным знаками следую­ щие выражения соответственно

Преобразуя аналогично dvjdt и dwjdt и подставляя их значения в (4.39), получим уравнения Громеки-Лемба

* Леонард Эйлер в своем трактате «Общие принципы движения жидкостей» (1755 г.) впервые вывел основную систему дифференциальных уравнений дви­ жения идеальной жидкости,, положив этим начало аналитической механике сплошной среды с широкими задачами и строгими методами их решения.

Суммы первого и второго членов правой части уравнений (4.40) представляют проекции ускорения поступательного движения час­ тицы, а третьи члены — вращательного. Умножая уравнения (4.40) на dx, dy, dz соответственно и складывая, получим

аопределитель равен нулю, т. е. когда:

1)массовыми силами являются только -силы тяжести, имеющие потенциальную силовую функцию U(х, у, z, t), частные производ­ ные которой по х, у, z равны проекциям ускорения массовой силы

тяжести dU/dx=X, dUfdy = Y и dU/dz=Z и, следовательно, Xdx+ + Ydy + Zdz=dU. Если ось z направлена по радиусу земли, то Х =

2) течение баротропно, т. е. Q= Q(P ). В этом случае существует функция Р(х, у, z), частные производные которой

3) течение потенциально: (Ox = (Oy = co2= 0. Это значит, что опрвделитель для всей области течения равен нулю и существует по­ тенциал скорости ф(х, у, z, t), т. е. d(p/dx=u:d<pfdy=v :d(p/dz=w.

Значение смешанной производной не зависит от порядка диффе­ ренцирования, т. е.

тяжести течения идеальной сжимаемой жидкости. Интегрируя

является функцией только времени и определяется из начальных условий. Это значит, что сумма четырех членов левой части (4.46) постоянна во ©сей области потенциального течения и может изме­

установившегося баротрапного в поле сил тяжести течения идеаль­

Для потенциального течения константа уравнения Бернулли (4.48) постоянна для всей области течения.

Уравнение Бернулли (4.48) остается справедливым и для вих­ ревого течения жидкости, когда определитель (4.41) равен нулю вследствие пропорциональности его строк: 1) первой и третьей (dxlu = dyl'V = dzlw) , 2) второй и третьей (сод:/и = (о?//у = со2/ш), 3) пер­ вой и второй (dx/ti>x= dy/(i)y=dzl(i)z) . Первое условие есть диффе­ ренциальное уравнение линий тока (3.9); второе—условие парал­

лельности векторов скорости W и угловой скорости со, т. е. условие совпадений линий тока и вихревых линий, когда частицы движут­ ся вдоль линий тока и вращаются вокруг них (винтовое движение; описано впервые проф. Казанского университета И. С. Громека в 1881 г. и носит его имя); третье — дифференциальное уравнение

вихревых линий (3.36)].

Итак, константа с в интегралах Бернулли при вихревом тече­ нии идеальной жидкости сохраняет постоянное значение только

связывающее изменение скорости, давления и высоты расположения движущейся жидкости. Это уравнение и называется его именем. С выходом в свет этой кни­ ги в науке появился термин «Гидродинамика».

зависимость Q= Q(P), т . е. термодинамический процесс, происходя­ щий в газе одновременно с течением по каналу 1—2.

Задача 4.14. Вычислить интеграл ] dp!§ для основных термодинамических

1

процессов и объяснить каким образом в уравнении Бернулли учитывается влия­ ние теплообмена между газом и внешней средой на изменение параметров газа при течении.

Ответ. 1. Изобарный процесс р = const,

2

(4. 54)

1

Уравнение Бернулли для несжимаемой идеальной жидкости при течении без обмена механической работой с внешней средой полу-

H = -Q -= — — полная механическая энергия 1/g, кг жидкости

Qg g

или полный напор в метрах столба данной жидкости.

Все три величины имеют одинаковый физический смысл, поэто­ му в учебной и технической литературе можно встретиться с тем, что любой из них присваивается название полного напора.

С о с т а в л я ю щ и е п о л н о й м е х а н и ч е с к о й э н е р г и и ж и д к о с т и наиболее наглядно изображаются и измеряются в метрах столба жидкости (см. рис. 4.10): gz, Qgz, z — потенциальная энергия положения жидкости, отсчитанная от произвольной выб­

(динамический) напор, Дж/кг; Па; м.

Пьезометрический напор р может измеряться от полного ваку­

Таким образом, начало отсчета энергии произвольно, но должно быть одинаковым для обеих частей равенства.. Для измерения ки­ нетической энергии попользуется трубка полного давления, кото­ рая устанавливается в точке измерения открытым концом против вектора скорости жидкости (см. рис. 4.10). Струйка жидкости, под­ текающая к открытому концу трубки, полностью затормаживается (W = 0) и весь скоростной напор превращается в давление, которое в сумме со статическим достигает давления торможения р* (Па) в данной точке, которое называется также полным

(4.58)

или p*/Qg= PlQg + W2/2g

* Потенциальная энергия давления специфическая форма энергии, присущая только жидкости. Она равна произведению плотности жидкости на работу про­ талкивания при ее переводе из области pi = 0 в область с давлением р (4.54). Под действием статического давления жидкость поднимается в манометре ста­ тического давления (см. рис. 4.10). При этом энергия давления превращается в потенциальную энергию положения p/pg. Потенциальная энергия давления мо­ жет превращаться в кинетическую, расходоваться на совершение внешней рабо­ ты или затрачиваться на преодоление сопротивлений.

** Гидростатический напор в поперечном сечении сохраняет для всех точек постоянное значение, хотя составляющие его изменяются (см. рис. 4.10).

Уровень жидкости в трубке полного давления выше уровня жидко-

прослеживается цепочка превращения кинетической энергии в по­

тенциальную энергию давления и энергии давления в потенциальную энергию положения.

полной механической энергии единицы массы несжимаемой жид­

Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжи­ маемой жидкости вдоль элементарной струйки {W22—VtV) не мо­ жет задаваться произвольно: в соответствии с уравнением нераз­ рывности это изменение однозначно определяется изменением пло­ щади поперечного сечения канала W2=W iSifS2.

Течения в горизонтальной струйке имеют большое практическое значение, так как часто реализуются в системах двигателей и ис­ пытательных установок. Они описываются уравнениями Бернулли

Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизон­ тальной элементарной струйке всегда сопровождается уменьшени­ ем давления, а уменьшение скорости —увеличением давления вплоть до р* при W = 0. Поэтому скоростной напор широко исполь­ зуется, например, для подачи воды в систему охлаждения двигате­ лей быстроходных катеров, для разрушения горных пород с по­ мощью водяной струи, а в случае сжимаемой жидкости — для сжа­

тия воздуха, поступающего в ВРД в полете и т. д.

В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может из­ меняться только вследствие изменения площади сечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течении не­ сжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но и статического давления: при сгущении линии ток давление уменьшается, при расширении — увеличивается. Это пра­ вило широко используется при анализе движения жидкости и ее

взаимодействия с телами.

Вопрос 4.16. Во сколько раз необходимо увеличить разность между давле­ ниями торможения и статическим, чтобы скорость увеличилась в два раза?

М а к с и м а л ь н а я с к о р о с т ь т е ч е н и я ил и и с т е ч е н и я н е с ж и м а е м о й ж и д к о с т и пр и з а д а н н о м р* = const те­ оретически может быть достигнута при истечении в полный вакуум р = 0. Из (4.61) имеем

В этом случае вся потенциальная энергия давления будет превра­ щена в кинетическую. Получение больших скоростей истечения жидкости имеет существенное практическое значение. Например, топливо в камеры сгорания двигателей впрыскивается с большими скоростями, что обеспечивает необходимое качество смесеобразо­ вания.

Вопрос 4.17. Каково должно быть полное давление р*, чтобы максимальная теоретическая скорость истечения воды и ртути равнялась 100 и 200 м/с? Какие высоты столбов воды и ртути соответствуют этим р*?

П р е д е л п р и м е н е н и я у р а в н е н и й н е р а з р ы в н о с т и и Б е р н у л л и . На рис. 4.11 изображен канал, по которому течет жидкость при постоянстве Sb Wu ри gi, р\*=рч* и при произволь­

= Wi — =оо. Однако по уравнению Бернулли (4.60) при W2 = oo дав-

нус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не может быть меньше нуля. Таким образом уравнения неразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное дав­ ление в канале остается большим нуля.

К а в и т а ц и я . На практике оказывается, что в жидкости дав­ ление, равное нулю, недостижимо. Если давление Рч снижаясь достигнет давления паров этой жидкости, насыщающих простран­ ство при данной температуре p 4= P t > 0, то начнется процесс обра­ зования пузырьков пара (кипение) и неразрывность течения ка­ пельной жидкости нарушится. Далее смесь капельной жидкости и пузырьков пара попадает в расширяющийся канал (см. рис. 4.11), давление возрастает и пузырьки пара начинают конденсироваться.

Кавитацией называется совокупность процессов образования пу-

зырьков пара и их конденсации. Кавитация может возникать не только в трубопроводах, но и при внешнем обтекании тел в об­ ластях, где возрастают местные скорости и уменьшается давление. Кавитации подвержены быстроходные колеса насосов и турбин и гребные винты. Конденсация пузырьков пара происходит на твер­ дых поверхностях очень быстро и завершается гидравлическим ударом, при котором развивается местное ударное давление на твердые поверхности, достигающее сотен и даже тысяч атмосфер.

дит к снижению давления паров, насыщающих пространство. На­

сины, бензины и т. д.) вначале вскипают легкие фракции, а затем тяжелые, так как pt лег.фр>Р< тяж.фр. Конденсация происходит в об­ ратном порядке. Для оценки возможности возникновения кавита­ ции используется безразмерный критерий — число кавитации

Величина х подсчитывается для сечения, расположенного на входе

втот агрегат, где может возникнуть кавитация. Значение числа кавитации для входного сечения, при котором возникает кавитация

вагрегате, называется критическим — хкр. При х > х кр гидравличес­

кое сопротивление агрегата и его КПД не зависят от величины х. При х < х кр затраты полного напора на преодоление гидравличес­ кого сопротивления, вызванного кавитацией, возрастают с уменьше­ нием х. Явление кавитации используют в кавитационных регулято­ рах постоянного расхода. Пусть давление р\ в сечении 1 поддер­ живается постоянным (см. рис. 4.11), а давление р% уменьшается за счет открытия крана. При этом р2 будет уменьшаться, а ско­ рость W2 и расход жидкости G= W2QS2 увеличиваться до тех пор,, пока при p2 = pt в сечении 2 не возникнет кавитация. При дальней­ шем уменьшении р3 парообразование в сечении 2 интенсифициру­

зуемся данными, полученными при кинематическом исследовании данного течения (см. п. 3.8). Запишем уравнение Бернулли (4.56) для элементарной струйки, практически совпадающей с нулевой линией тока. Сечение 1—1 выберем в невозмущенном потоке, где скорость W1 и давление р\, а текущее сечение —■на поверхности цилиндра. В этом сечении скорость W определяется по формуле (3.62), а давление р является искомым. Пренебрегая изменением z, получим

В гидрогазодинамике принято выражать изменение давления на поверхности тела числом скоростных напоров или безразмерным коэффициентом давления р

относительной окружной скорости WujW\ и коэффициента давления р. В критических точках А и В скорость жидкости равна нулю и давление равно давлению торможения в невозмущенном потоке (р = 1). По мере уменьшения угла 0 скорость увеличивается, а дав­ ление уменьшается. При 150 и 30° (210 и 330°) скорость и давле­

ние идеальной жидкости на поверхности цилиндра становятся та­ кими же, как в невозмущенном потоке. При 0 = 90 и 270° давление