Глава 11

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Основными уравнениями газодинамики элементарной струйки при установившихся течениях совершенного газа являются уравне­ ния состояния (1.1), неразрывности (3.21), количества движения (4.12) и (4.15), моментов количества движения (4.27), энергии (4.79), Бернулли (4.82) и второго закона термодинамики (4.97). Часть этих уравнений преобразуется в форму, удобную для газоди­ намических исследований и расчетов.

Ниже под внешней работой / будем понимать только техничес­

кую работу /техн = /турбины^0, /тех== /компр^О* В общем случае течение газов сопровождается изменением па­

раметров состояния Q, р, Т, т. е. термодинамическими процессами. Классификация течений, основанная на уравнениях энергии и

второго закона термодинамики.

I. Адиабатные течения —течения без теплообмена между газом и внешней средой dq = 0;

а) идеальные адиабатные или изоэнтролные (обратимые)

Изменение параметров в этих течениях определяется из уравнения изоэнтропы

шими, так как лежат в основе решения подавляющего большинст­ ва задач. Физический смысл этих уравнений — закон сохранения и превращения энергии — изменение полной энергии газа (72*—М*)

или СР(Т2*—Тх*) равно энергии, которой газ обменивается с внеш­ ней средой на участке 1—2. Уравнение (11.8) дает однозначный ответ об изменении важнейшего -параметра Г* в любом течении. Уравнение энтальпии не содержит теплоты трения. Однако оно

преодоление сопротивлений не может изменить полной энергии га­ за, а лишь вызывает необратимое превращение кинетической энер­ гии в потенциальную. Это приводит к тому, что течения с потерями и без них при‘одинаковых начальных условиях развиваются раз­ личным образом. Однако для определения этой разницы одного уравнения энтальпии недостаточно: необходимо дополнительно ис­

ставляя в уравнения энтальпии (11.9) и (11.8) условия энергети­ ческой изолированности dq = 0 и dlTCX= 0, получим:

Учитывая, что сечения 1 я 2 канала выбраны произвольно, за­ ключаем, что в энергетически изолированных течениях полная энергия газа, т. е. энтальпия торможения Г* и температура тормо­ жения Т* сохраняют постоянное значение независимо от величины

потерь.

Это положение является важнейшим при исследовании энерге­

Из анализа полученных уравнений следует, что ускорение энер­ гетически изолированного потока происходит за счет уменьшения энтальпии газа или его температуры. Это ускорение сопровождает­ ся уменьшением давления и плотности, т. е. расширением газа. Разность давлений при ускорении энергетически изолированного потока является единственным источником ускоряющей газ силы R = G(W2—Wi) и силы для совершения работы по преодолению со­ противлений. Уменьшение давления при ускорении энергетически изолированного потока можно проследить и по уравнению Бернул­ ли, которое для рассматриваемого случая принимает вид

dp_

Q

Наоборот, торможение энергетически изолированного потока всегда сопровождается увеличением энтальпии, температуры, дав­ ления и плотности, т. е. сжатием газа.

Э н т а л ь п и я т о р м о ж е н и я /* и т е м п е р а т у р а т о р ­ м о ж е н и я Гп* Н е в о з м у щ е н н о г о п о т о к а это энтальпия и температура, которые принимает газ при его полном энергетиче­ ски изолированном торможении. Эти энтальпия и температура на­ зываются также полными.

1) изоэнтропное сжатие газа за счет кинетической энергии при его торможении, сопровождающееся увеличением Т, р, Q (обрати­ мый процесс ds = 0, мыслимый только для.газа);

2) затрата кинетической энергии только на преодоление сопро­ тивления. Этот процесс наблюдается на теплоизолированной плае-

тинке в пограничном слое: в этом случае скорость газа у стенки Ww = 0, а температура может достигнуть значения Г* невозмущен­ ного набегающего потока. При этом давление газа сохраняется не­

изменным. Такое торможение газа является необратимым, сопро-

d(Jтр

вождается увеличением энтропии rfs = - ^ - > 0 и называется дис­

сипацией или рассеиванием кинетической энергии. Рассматривае­ мое превращение возможно как в газовых потоках, так и в пото­ ках несжимаемой жидкости;

Рис. 11.1. Измерение температуры торможения в газо­ вом потоке

3) политропное сжатие газа при его торможении, сопровождаю­ щееся преодолением сопротивлений, в результате чего возрастает энтропия и энтальпия, а давление и плотность повышаются мень­ ше, чем при адиабатном сжатии. Такой механизм возможен толь­ ко для газов.

И з м е р е н и е т е м п е р а т у р ы г а з а в п о т о к е . А э р о д и ­ н а м и ч е с к и й н а г р е в тел.

Рассмотрим, какую температуру примет горячий спай термопа­ ры ГС, помещенный в газовом потоке, имеющем скорость WH, тем­

пературу Ти и Т1= Тн- \ - ^ - (рис. 11.1). Газ, текущий в централь-

2Ср

ной струйке, при подходе к критической точке К, изоэнтропно за­ тормаживается (1^к= 0). Вся кинетическая энергия газа переходит в энтальпию, которая достигает значения полной энтальпии невоз­ мущенного потока /к = /*, а температура — температуры торможе­

ния Т1{=Т*, если тело является адиабатным, т. е. не участвующим

Динамический добавок температуры в критической точке имеет максимальное значение ДГ= Wu2/2CP (см. рис. 11.1).

Во всех остальных'точках поверхности ГС скорость газа будет также равна нулю, но уже не за счет адиабатного сжатия, а за счет трения. В этом случае также вся кинетическая энергия прев­ ратится в тепло и восприметея газом. Если бы теплообмен между заторможенным на поверхности газом и близтекущими слоями от­

сутствовал, то в любой точке поверхности газ имел бы температу­ ру торможения невозмущенного потока. Однако опыты показыва­ ют, что между заторможенным на поверхности газом и близтекущими слоями возникает теплообмен, в результате которого темпе­ ратура газа на стенке Tw оказывается меньше Г*н, но больше TK(Tn<Tw<T*), и динамический добавок температуры снижается (см. рис. 11.1). Это снижение температуры зависит от интенсивно­ сти теплообмена, который определяется свойствами жидкости и режимом течения ее около поверхности тела (п. 15.5).

Кроме того, горячий спай будет отдавать тепло окружающей среде излучением с поверхности и теплопроводностью по прово­ дам, стойкам и т. д. и температура его может принимать неопре­ деленную величину.

На рис. 11.1 показана схема экранированной термопары с про­ сосом газа, обеспечивающей измерение температуры, близкой к температуре торможения невозмущенного потока Гн* Горячий спай термопары помещается в камеру торможения. Газ набегаю­ щего потока перед отверстием энергетически изолированно затор­ маживается до Wc±0. В результате адиабатного сжатия темпера­ тура газа повышается до температуры торможения набегающего потока. Следовательно, горячий -спай окружен неподвижным газом, температура которого равна Г„* Потери тепла излучением снижа­ ются за счет уменьшения диаметра шарика горячего спая и экра­ нирования его корпусом камеры торможения, имеющей темпера­ туру достаточно близкую к температуре торможения. Для умень­ шения потерь тепла за счет теплопроводности электродов термо­ пары они делаются малого диаметра. Для уменьшения «инерцион­

Из сказанного следует, что измерение термодинамической тем­ пературы газа в потоке неподвижным термометром принципи­ ально невозможно.

В дальнейшем изложении будем полагать, что термопара, по­ мещенная в газовый поток, измеряет его температуру торможения.

А э р о д и н а м и ч е с к и е н а г р е в о м называется нагрев до Т>Тп при движении тел в газах, вызванный адиабатным сжатием в области критических точек и трением на поверхности. В связи с тем, что этот нагрев может достигать очень больших величин, в технике вводится понятие тепловой барьер. Тепловой барьер не имеет конкретных пределов, но свидетельствует, что для полетов в атмосфере с большими скоростями необходимо применять жаро­ стойкие материалы и организовывать охлаждение и тепловую за­ щиту летательных аппаратов.

Задача 11.4. Адиабатное тело движется в воздухе, имеющем температуру 711= 300 К, со скоростями Мц=0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2; 5; 10; 23; 32. Рассчитать ди­

Приведенная скорость — отношение скорости потока (полета) к критической скорости звука, рассчитанной по (11.19):

является, как и число М, важнейшим критерием подобия газовых потоков й широко используется.

Задача 11.5. Используя формулы (11.6), (11.7), (11.15) и (11.19), получите следующие выражения полной энтальпии-

Из рассмотрения формул (11.22) ... (11.24) следует, что числа

М, % и Л характеризуют степень преобразования полной энтальпии газа в его кинетическую энергию в данной точке любого потока, т. е. имеют одинаковый физический смысл. Поэтому, между М, К и А существует однозначная связь и задание одного из них опреде­ ляет два других.

Задача 11.6. Докажите, что между М, X и Л существует следующая связь

уравнения энтальпий (11.8) и Бернулли (4.52) и (4.79) записыва­ ются одинаково

ние состояния для термодинамических параметров p=gRT на урав­ нение состояния для параметров торможения p* = Q*RT*:

ются для быстрого определения параметров В одной и той же точке любого газодинамического потока. Например, для заданной точки

к параметрам торможения в данной точке, по определению, проис­ ходит по изоэнтропе.

Для элементарной -струйки эти формулы справедливы для од­ ного и того же сечения. В энергетически изолированном и изоэнтропном потоке все параметры торможения сохраняют неизменное значение, поэтому для любой точки А молено, например, написать

Подчеркнем, что давление торможения в газовых потоках мож­ но рассчитывать только по формулам (П-29) и (11,32), т. е.

формула р*= р-\-$¥1 (4.58) и все из нее следующие применимы только для несжимаемой жидкости.