В соответствии с экспериментальными данными критическая высота шероховатости определяется формулой

Задача. 15.9. При условиях задачи 15.7 вычислить критическую высоту ше­ роховатости. Ответ: Кs кр«0,43 мм при Re* = 10®.

Критическая высота шероховатости, вызывающая переход ла­ минарного течения в турбулентное, в 10... 15 раз больше допусти­ мой высоты шероховатости для турбулентного пограничного слоя.

15.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ НА ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ

Рассмотрим течение газа с большим числом Мн около плоской адиабатной стенки. Условием такой стенки является отсутствие теп­

ратуры — отношение тепла нагрева газа на поверхности адиабат­ ной стенки к кинетической энергии невозмущенного течения.

Для ламинарного пограничного слоя на теле произвольной формы

где иих — скорость на внешней границе пограничного слоя в сече­

нии X.

В передних критических точках ин*кр= 0; гкр=1 и Тъ=ТК9 = Тп*,

т.е. критическая точка термически всегда наиболее нагружена. Для плоской стенки иах= ив и для воздуха Рг = 0,72 и

т.е. 15 и 10% тепла трения отводится от газа,заторможенного у

*Течения с теплообменом между газом и телами рассматриваются в курсе теплопередачи.

стенки во внешний, по отношению к динамическому пограничному слою, поток. В этом случае бт>5, a r e= 7 V < r H* (рис. 15.8, а).

Изменение температуры торможения поперек пограничного слоя не противоречит общей энергетической изолированности течения: полная энергия одних слоев газа в пределах теплового погранично­ го слоя увеличивается на столько же, на сколько уменьшается энер­ гия других за счет теплопередачи. При Рг = 1, гл = г7 = 1, Тс = Ти* и 6Т= 6 (рис. 15.8, б).

Как мы видим, все характеристики ламинарного и турбулентно­ го пограничных слоев определяются числом Рейнольдса. При тече­ нии несжимаемого газа (бу­

что приводит к существенному увеличению вязкости и к уменьше­ нию плотности газа в пограничном слое по сравнению с таковыми в невозмущенном потоке. В этом случае р„ и р„ и ReH не опреде­ ляют течение в пограничном слое.

Опр е де л я юща я т е мпе р а т у р а . Исследования показа­ ли, что характеристики как ламинарного, так и турбулентного погра­ ничного слоя, в сжимаемом газе можно рассчитывать по формулам

при определяющей для пограничного слоя температуре

<.Tonp<.Tw). Определяющая температура рассчитывается по эм­ пирической формуле [30]

где Тп х— температура в сечении х при у = ‘бт.

Для адиабатной стенки Tw = Te, Тлх = Тп при Рг = 1, г=1, полу­ чим

Рис. 15.9. Распределение температур и скоростей в ламинарном пограничном слое на адиабатной пластине. Р г= 1;

к = 1 ,4 ;, , /1 = 0,76; , Т Г и У и H/Vh* =

= 4,64—^ -

ОМ-0

Cf(o-xy , j u

Ряс. 15.10. Интегральный коэффициент сопротивления трения плос­ кой пластины. Р г= 1, к = 1,4, л=0,76

где б и Сдо-х) — толщина пограничного слоя и интегральный коэф­ фициент сопротивления трения для сжимаемого газа и 8м=о и С/(о—.г)м=о — толщина пограничного слоя и интегральный коэф­ фициент сопротивления трения для несжимаемого газа, т. е. рас­ считанные по параметрам невозмущенного потока ен и рн-

При увеличении числа Мн увеличивается температура газа в пограничном слое (рис. 15.9), повышается вязкость и уменьшается плотность газа. Число Рейнольдса уменьшается и вместе с ним уве­ личивается толщина пограничного слоя и уменьшается наполнен­ ность поля скоростей, т. е. (du/dy)w Последнее, несмотря на уве­ личение р, приводит к существенному уменьшению С/ (рис. 15.10).

0 QH^H

ясь к толщине пограничного слоя, за счет уменьшения плотности газа (рис. 15.11). Толщина потери импульса уменьшается за счет уменьшения тw (15.32).

Из сказанного следует, что толщину пограничного слоя можно увеличивать, подогревая газ и уменьшать, охлаждая его. Это свой­ ство пограничного слоя используется для управления течением.

Задача 15.10. Самолет летит с М„ = 3 на высоте Н = 20 км. Определить си­ лу сопротивления трения, действующую на крыло, с учетом сжимаемости возду­ ха. Принять, что крыло — бесконечно тонкая пластина размахом 10 и шириной 3 м, обтекаемая без образования ударных волн и что турбулентный пограничный слой начинается от передней кромки крыла. Ответ: Я*=3440 Н.

15.6. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ. ОТРЫВ. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СО СКАЧКАМИ УПЛОТНЕНИЯ. УПРАВЛЕНИЕ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

Практически важные течения в соплах и диффузорах, около крыла самолета и лопаток турбомашин сопровождаются изменени­ ем давления. Как уже было установлено, градиент давления одина­ ков во внешнем течении и в пограничном слое. Понижение давления dpldx<.0 и особенно его повышение dp/dx>0 в направлении тече­

ния, приводит к сильной деформации профилей скорости, а следо­ вательно, температуры и концентрации, в пограничном слое, что существенно влияет на сопротивление тел, теплообмен и диффузию. При градиентных течениях профили скорости в пограничном слое не являются подобными для различных сечений при одинаковом режиме течения, что существенно затрудняет теоретический ана­ лиз и расчет течений.

Деформация профилей скорости в п о г р а нич ­ ном с л о е при продольном градиенте да вл е ния . Пренебрегая трением запишем уравнение Бернулли для произволь-

Рис. 15.12. Отрыв пограничного слоя

ных сечений хх и x2> *i для двух струек несжимаемой жидкости, текущих у наружной (н) и внутренней (в) границ пограничного слоя при одинаковом др!дхф0 так, что мв<м н и («B2 + uBi) < (Ын2 + + uHi)

вдоль поверхности М —Б наполненность полей скорости уменьша­ ется (профили 2, 3, 4) и толщина б(х) пограничного слоя увеличи­ вается в большей степени, чем на плоской стенке.

В диффузорном течении жидкость движется из области мень­ шего давления в область большего, расходуя запас кинетической

Для ламинарного пограничного слоя, учитывая большое влия­ ние вязкости на течение, определяемый критерий подобия состав­ ляется иначе и имеет следующие значения при отрыве

При течении сжимаемого газа величина критерия отрыва зави­ сит от числа Мн. Например, для турбулентного пограничного слоя

Расчет ламинарного пограничного слоя основывается на числен­ ном интегрировании дифференциальных уравнений с использова­ нием ЭВМ. Турбулентный пограничный слой рассчитывается с по­ мощью полуэмпирических соотношений, основанных на интеграль­ ном уравнении количества движения.

Взаимодействие пограничного слоя со скач­ ками уплотнения. Пограничный слой при сверхзвуковых те­ чениях имеет две качественно отличные области— дозвуковую, тол­ щиной Д, с изменением скорости от uw = 0 до м = а и сверхзвуко­ вую, переходящую во внешний поток (см. рис. 15.13). Толщина зву­ ковой области в турбулентном пограничном слое существенно меньше, чем в ламинарном — ДТ<СДЛ. Это необходимо учитывать при изучении взаимодействия ламинарного и турбулентного погра­ ничных слоев со скачками уплотнения.

В случае течения идеальной жидкости косой скачок отражает­ ся от стенки в виде косого скачка (см. рис. 2.10).

Когда взаимодействие скачка с пограничным слоем сопровож­ дается отрывом последнего от стенки, картина изменяется корен­ ным образом.

Ла мина р ный п о г р а н и ч н ый слой (рис. 15.14). Па­ дающий из вне скачок АБВ попадает в сверхзвуковую область ла­ минарного пограничного слоя, в которой скорость изменяется от

Рис. 15.14. Схема взаимодействия косого скачка с ла­ минарным пограничным слоем

ин> а до и= а. Поэтому скачок изгибается, оканчивается на линии и= а и давление газа вразличных слоях за ним оказывается различ­ ным. За скачком в пограничном слое возникает поперечный гради­ ентдавления др/ду>0. Повышенное давление, установившееся за скачком, передается по дозвуковой области пограничного слоя про­ тив течения. В результате перед скачком в пограничном слое возни­ кает большой продольный градиент давления др/дх>0, вызываю­ щий интенсивное увеличение толщины пограничного слоя, уменьше­ ние скорости и искривление линий тока, образующих вогнутую по­ верхность ИД.

При обтекании поверхности НД сверхзвуковым потоком возни­ кают слабые волны сжатия, образующие косой скачок уплотнения ЖБЕ, который можно рассматривать как первый отраженный ска­ чок. Давление в области Т больше, чем в области И, так как поток

перед Г пересекает более сильный скачок. Такой перепад давления направляет поток к стенке и оторвавшийся пограничный слой мо­ жет снова к ней присоединиться. Выпуклая поверхности ВИ гене­ рирует слабые волны разрежения и сверхзвуковой поток, после скачка, ускоряется в течении Прандтля—Майера и поворачивает к стенке. Стенка направляет поток вдоль своей поверхности так, что линии тока создают вогнутый контур КЛ, на котором возника­ ют слабые волны сжатия, образующие второй отраженный косой скачок МС. В зависимости от условий пограничный слой за этим скачком может турбулизироваться или остаться ламинарным.

Итак, при взаимодействии с пограничным слоем, скачок уплот­ нения отражается в виде двух скачков с промежуточным ускоре­ нием в волне разрежения. Поэтому суммарные потери полного дав­ ления на скачке МС больше, чем потери при регулярном отраже­ нии скачка от стенки.

Давление на стенке начинает повышаться в точке Н еще до точ­ ки отрыва 0 и принимает следующие значения: р0тр в точке 0 отры­ ва пограничного слоя, р\ в отрывной зоне между точками 1 и В, рп в точке присоединения пограничного слоя к стенке и, наконец, дости­ гает максимального давления р% которое равно давлению за вто­ рым отраженным скачком МС.

В качестве параметров, характеризующих отрыв пограничного слоя при взаимодействии его со скачками, используют два безраз­ мерных давления:

1) Pi/ри — отношение давления в зоне отрыва к давлению в не­ возмущенном потоке. Это отношение называется критическим. При­ ближенно принимают, что критическое отношение давлений равно повышению давления на первом отраженном косом скачке, возни­ кающем из-за утолщения пограничного слоя вблизи точки отрыва;

2) Ротр/Рн — отношение давления в точке отрыва к рн. Взаимодействие пограничного слоя .со скачками, особенно, если

оно сопровождается отрывом, является очень сильным. Из-за того, что в пограничном слое велико значение ди/ду, падающий скачок искривляется и его интенсивность изменяется вдоль фронта. Это приводит к появлению большого градиента давления др/ду, вызы­ вающего, в свою очередь, появление большого градиента др]дх и ди/дх. Увеличение толщины пограничного слоя приводит к образо­ ванию волн сжатия и расширения, существенно изменяющих внеш­ нее течение на большом расстоянии от стенки. Вследствие того, что в этом течении не выполняются основные допущения ни теории пограничного слоя (др}ду=0, ди/дх<^ди/ду), ни ударных волн (от­ сутствие градиента вдоль фронта скачка), теоретические исследо­ вания крайне затруднены.

Если взаимодействие ламинарного пограничного слоя сопровож­ дается отрывом, то основное свойство этого течения состоит в том, что параметры потока вблизи точки отрыва, в том числе величина Рл/рв и Ротр/Рн зависят только от Мн и Re* и не зависят ни от формы поверхности твердого тела, ни от интенсивности и причины появле­ ния основного скачка (падающий извне скачок, скачки, возникаю­

щие при обтекании внутренних тупых или прямых углов при тече­ нии в каналах и т. д.).

В соответствии с приближенными теориями, удовлетворительно подтверждающимися в экспериментах, при Мн>1,2 безразмерные давления зависят только от Мн и Re*

W *)r

зоо

200

юо

о

Рис. 15.15. Величина отхода первого отражен­ ного косого скачка в зависимости от интен­ сивности падающего скачка

Как видим, отрыв ламинарного пограничного слоя затрудняется при уменьшении Re* и увеличении Мн. Первое соответствует увели­ чению вязкости газа, второе — увеличению количества движения газа в пограничном слое.

В соответствии с экспериментальными данными, расстояние Ь, на которое отходит первый отраженный скачок от падающего (рис.

сверхзвуковом обтекании внутреннего тупого угла возникает при­ соединенный скачок уплотнения (см. рис. 12.5, б). При реальном течении, вследствие взаимодействия с пограничным слоем, скачок изменяет свою интенсивность и расположение, смещаясь вверх по потоку (рис. 15.16). Это необходимо учитывать при проектирова­ нии сверхзвуковых входных устройств ВРД.

Рассмотрим взаимодействие турбулентного пограничного слоя со скачком уплотнения при обтекании внутреннего тупого угла, соп­ ровождающегося отрывом (см. рис. 15.16).

Давление на стенке в зоне взаимодействия увеличивается неп­ рерывно от рн до р2у равного давлению во внешнем потоке за скач­

при MHd ,3 , так как при этом критическое отношение давлений больше, чем повышение давления на прямом скачке уплотнения. Если интенсивность скачка уплотнения недостаточна для отрыва турбулентного пограничного слоя, то происходит лишь умеренное его утолщение и отражение скачка становится близким к регуляр­ ному (см. рис. 12.10).

Для того, чтобы определить произойдет ли отрыв пограничного слоя при заданных условиях и получить представление о протяжен-

Рис. 15.18. Взаимодействие пограничных слоев со скачками уплотнения в местных сверхзвуковых областях:

а—ламинарный слой; б—то же турбулентный

ности зоны отрыва, необходимо: 1) определить перепад давлений на основном скачке /?з/рн; 2) определить режим течения в погра­ ничном слое и толщину вытеснения б* перед основным скачком без учета взаимодействия; 3) рассчитать критический перепад давле­ ния pi/рн по (15.71), если пограничный слой ламинарный, или по (15.73), если турбулентный; если Р1/рн>Рз/Ря — отрыва нет, если Ри/Рн<Рз/Рн — отрыв есть. Величина b отхода первого скачка уп­ лотнения определяется на основании экспериментальных данных рис. 15.15.

Задача 15.11. Определить, при каком угле а„ фронта падающего на пласти­ ну косого скачка произойдет отрыв пограничного слоя, если координата падения скачка х = 2 м, ReXKp=10e, |хи = 1,42-10-5 Н-с/м2, QH=0,122 к г / м 3; Мн=3, 7в= = 217 К, Я =287 Дж/(кг К). Ответ ан^30°.

л а с т я х течения. Критическим называется такое число Мнкр-<' <1 , при котором в какой либо области течения около крылового профиля, скорость потока достигает местной скорости звука за счет ускорения дозвукового потока в передней конфузорной области те­ чения. Если число 1>М я> М пКр, то вблизи поверхности профили возникает область сверхзвуковых скоростей (рис. 15.18, а). В обла­ сти АВ дозвуковой поток ускоряется в сужающихся' струйках до Мн=1, а в области ВБ сверхзвуковой поток перерасширяется. ТаЯ как поток перед профилем дозвуковой, то он и с профиля сходит дозвуковым. Торможение сверхзвукового потока происходит нЯ скачке уплотнения, который начинается на линии М =1 и кончает­

ся на линии М '=1 и взаимодействует с пограничным слоем. Лами­ нарный пограничный слой имеет дозвуковую зону достаточной тол­ щины. Давление в этой зоне передается против потока и сущест­ венно отклоняет наружу линии тока. Сверхзвуковой поток на вог­ нутой поверхности образует слабые волны сжатия, складывающие­ ся в криволинейный наклонный скачок, который соединяется с бо­ лее мощным замыкающим скачком, образуя так называемый %— образный скачок. В зависимости от числа Мн и распределения дав­

нена, утолщение пограничного слоя не велико и поэтому возникает лишь один замыкающий ска­

чок, близкий к прямому (рис. 15.18,6).

Взаимодействие скачков уплотнения с пограничным слоем на профиле приводит к уменьшению давления на кормовую часть про­ филя и вызывает резкое увеличение силы лобового сопротивления. Это сопротивление давления называется волновым сопротивлением.

мийарного пограничного слоя в турбулентный для уменьшения тре­ ния и тёпло-, массообмена между поверхностью тела и потоком жид­

кости. Она заключается в уменьшении толщины пограничного слоя б, интенсивности турбулентности набегающего потока, градиента давления dp/dx> 0 и высоты гребешков шероховатости.

Наиболее эффективными методами уменьшения толщины лами­ нарного пограничного слоя является охлаждение обтекаемой стен­ ки (поверхности крыла топливом), удаление с поверхности тела наиболее заторможенных слоев пограничного слоя отсосом или сду­ вом пограничного слоя перед ожидаемой точкой перехода его в турбулентный, а также уменьшением dpldx>0 за счет применения