Глава 8

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В ТРУБАХ. ПРИСТЕНОЧНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Турбулентные течения в трубах наиболее часто встречаются в технике, .имеют большое практическое значение и им посвящены многочисленные исследования. Опыты показывают, что влияние стенки на характеристики турбулентных течений настолько вели­ ко, что пристеночные турбулентные течения в каналах и в турбу­ лентных пограничных слоях обтекаемых тел имеют много общих фундаментальных закономерностей. При ламинарном течении в трубе поле течения однородно —определяется только молекуляр­ ным трением. Формулы поля скоростей н/ит ах=(1—r2/R2) и зако­ на сопротивления £TP = 64/Re получены чисто теоретическим путем из решения уравнений неразрывности и Навье—Стокса (см. л. 7.1). При турбулентном режиме течения также существует однозначная связь между полем скоростей и законом сопротивления. Однако эти зависимости получить теоретически пока невозможно: либо поле скоростей, либо закон сопротивления должны быть получены из эксперимента.

8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим турбулентное течение при Re>ReKp в цилиндричес­ кой прямой трубе за участком гидродинамической стабилизации, длина которого по данным различных -исследователей составляет 25... 100 калибров. Турбулентный пограничный слой сомкнут на оси и радиус трубы R можно рассматривать как толщину б турбу­ лентного пограничного слоя на плоской пластине. Ось х направим по стенке в направлении течения, ось у —'перпендикулярно к ней и по направлению к оси трубы. Введем обозначения: г —текущий радиус, отсчитываемый от оси трубы; и —осредненная во времени текущая скорость, неизменная -вдоль оси трубы; иср— среднерас­ ходная скорость; птах — скорость на оси трубы.

Течение в турбулентном пограничном слое, вследствие влияния стенки, неоднородно и может быть разделено на три качественно различных концентрических слоя: ламинарный подслой, переход­ ный слой и слой полностью развитого турбулентного течения, каж­ дый со своим законом распределения скоростей и законом сопро­ тивления.

т. е. напряжение трения пропорционально радиусу: на оси равно О, а на стенке— максимально. Форхмула справедлива как для ла­ минарного, так и для турбулентного установившегося течения при рассматриваемых условиях (R = const, Q=const) и позволяет опре­ делить напряжение трения на стенке по измеренным давлениям в начале и конце участка трубы. Сопоставляя форхмулы (8.6) и (6.34), получим

стенки при у = 0 v' = u' = 0 и 1 = 0. С увеличением у начинают появ­ ляться турбулентные пульсации и возрастает путь лерехмешивания

/.Следуя Прандтлю примем, что

1)вблизи стенки путь перемешивания пропорционален рассто­ янию от стенки

где к — одна из основных экспериментальных констант теории при­ стеночной турбулентности.

В соответствии с экспериментальными данными пропорциональ­ ность пути перемешивания расстоянию от стенки имеет место лишь до у]Яж0,1. В этой области х^0,4. При ylR> 0,1 увеличение пути перемешивания замедляется и определяется интерполяционной формулой

2) вблизи стенки напряжение трения является чисто турбулент­ ным, постоянно и равно напряжению трения на стенке xs = хт= =Tw=const. Тогда, с использованием формул (8.5) и (8.8), полу­ чим

Интегрируя (8.10), получим универсальный закон распределения скоростей в турбулентном пристеночном течении

Для того, чтобы (8.11) придать безразмерный вид, введем в рас­ смотрение: 1) динамическую скорость у*

(8.12)

которая является мерой интенсивности пульсационного движения; 2) число Рейнольдса v*y/v, выражающее соотношение сил инерции

где C i—экспериментальная константа, зависящая от шероховатасти стенки.

{p=u/v+

Рис. 8.1. Универсальный логарифмический закон распределения скоростей в гладкой трубе:

лентному течению при Re<10s; 5—то же уравнению ф= 11,5т)1/1®

На рис. 8.1 сопоставляются результаты расчета по (8.14) (кривая 3) с данными эксперимента для гладких труб в широком диапазо­ не чисел Рейнольдса Re = Qud/\x. Кривая 1 соответствует ламинар­ ному течению в ламинарном подслое и рассчитана по уравнению ii/v* = v^y/v, которое получается из формул (8.3) и (8.12). Кривая 2 проведена по экспериментальным точкам для переходной обла­ сти от ламинарного к турбулентному течению.

Приведенные данные подтверждают существование в присте­ ночном турбулентном пограничном слое трех качественно отлич­ ных областей течения:

при (v%y/v) < 5 — чисто ламинарное течение (кривая /);

оси трубы универсальный закон хорошо подтверждается экспери­ ментами в широком диапазоне чисел Рейнольдса, что и доказывает его универсальность и позволяет распространить на любые, сколь угодно большие числа Рейнольдса без экспериментальной про­ верки.

В турбулентном ядре условия x = xw = const и / = 0,4 у, принятые при выводе логарифмического закона распределения скоростей, не выполняются: с увеличением у (уменьшением г) т, в соответствии с (8.6), уменьшается, а путь перемешивания I возрастает все мед­ леннее (8.9). Хорошее совпадение логарифмического закона с экс­ периментальными данными в этой области объясняется тем, что х

независимость от числа Рейнольдса — объясняется тем, что в его

выражения входит динамическая скорость ^lAr^/Q, определяе­ мая напряжением трения на стенке, которое зависит от числа Рей­ нольдса.

Т о л щ и н а л а м и н а р н о г о п о д с л о я 6Л и с к о р о с т ь ил при у = бл. Практически невозможно точно определить границу ламинарного подслоя. В соответствии с рис. 8.1 и условиями (8.15) она может быть определена по точке касания кривых 1 и 2 пример­ но при lg (v*y/v) ~ 0,7, т. е.

(8. 16)

Зависимость (8.16) используется при изучении влияния шерохова­ тости стенки на характеристики турбулентного течения (п. 8.3). Очень часто толщину ламинарного подслоя определяют по точке пересечения кривых 1 и 3:

та пристеночной турбулентности.

Скорость ил на границе ламинарного подслоя получим, подста­ вив в (8.3) значение бл из (8.17):

Из формул (8.17) и (8.18) следует, что число Рейнольдса, сос­ тавленное для ламинарного подслоя, имеет постоянное значение для любых чисел Рейнольдса осредненного течения

ЛV

Незначительная величина Re^ показывает, что в ламинарном под­

слое силы вяз,кости существенно .превышают силы инерции и в нем имеет место в основном ламинарное течение. При увеличении чис­ ла Рейнольдса осредненного течения в трубе за счет увеличения скорости увеличивается и ил, а толщина ламинарного подслоя при этом уменьшается, так как ReSji = const. Это явление оказывает су­

щественное влияние на трение при турбулентном течении около шероховатых поверхностей (п. 8.3).

Поле скоростей в переходной области представляет собой плавную кривую, сопрягающую логарифмическое поле турбулентного ядра и линейное в ламинарном подслое. Уравнение этого поля можно получить, если при выводе логарифмического закона учесть моле­

Среднюю скорость определим по (3.14), подставив значения ы/р*

Опыты показывают, что поле скоростей в турбулентном пристеноч­

ном пограничном слое хорошо описывается следующим, чисто эм­ пирическим, степенным законом

где п — показатель степени, определяемый экспериментально. Недостаток степенного закона состоит в том, что он не универ­

сален: показатель степени п зависит от числа Рейнольдса, умень­ шаясь с его увеличением (табл. 8.1). В пределах Re = 4*103 105, достаточно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных обеспечивается при п = 1/7. Поэтому степенной закон назы­ вают законом одной седьмой. Большим преимуществом степенного закона является простота, что и определяет широкое применение его в технических расчетах.

Таблица 8.1

приведены в табл. 8.1. На рис. 8.1 нанесена кривая 4, рассчитанная по уравнению (8.25) при п= 1/7, которая хорошо совпадает с ре­ зультатами опыта только до Re< 105. Кривая 5 представляет рас­ пределение скоростей при п= 1/10. В этом случае наблюдается хо­ рошее совпадение с опытными данными при больших числах Re и расхождение при малых.

Отношение u cp/«m ax характеризует наполненность поля скорос­ тей: при мСр/мтах= 1 поле скоростей полностью наполнено или рав­ номерно. Для ламинарного^ течения « Cp/«m ax = 0,5 и не зависит от числа Рейнольдса. Мощный механизм турбулентного перемешива­ ния приводит к выравниванию поля скоростей и к существенному увеличению иср/итях, возрастающему с увеличением числа Рей­ нольдса, в пределе до единицы.

На рис. 8.2 приведены безразмерные поля скоростей, измерен­ ные в гладких трубах. Турбулентные поля скоростей существенно