3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ

источника и стока от начала координат, их потенциалы скорости и функции то­ ка в соответствии с формулами (3.56) примут вид

<РС = —(Q/2JI) In V(x — е)2 -ьУ2; Фс = —(0/2я) arctg [*//(* — е)] •

Для результирующего течения ф= <ри+ фс и ф =,фи + фс. Если источниками сток сближать, сохраняя постоянной мощность, то при их совпадении (е *0 ) тече­ ние прекратится — сток поглотит источник.

Рис. 3.9. Взаимодействующие источник А, сток В и ди­ поль

• Диполем (см. рис. 3 .9 ) называется течение, возникающее при одновремен­ ном стягивании источника и стока в начало координат (е— »-0 ) и увеличении их

мощности (Q-*оо), но так, что момент диполя iVf=lim2 Q. е сохраняет посто-

е->0

Q—►оо

янное значение:

мIn V (X + е)2 + #2 — 1п 1Л* — £)2 + У2

Выполняя дифференцирование, получим потенциал скорости и функцию тока ре­ зультирующего течения — диполя

равенства^ мощности источника и стока результирующий поток жидкости через> замкнутый контур, охватывающий диполь, равен нулю. Это свойство обеспечи­

вает широкое применение диполя для синтезирования еще более сложных тече­ ний жидкости около твердых тел.

Задача 3.22. Докажите, что фДИц и фдИП (3.60) удовлетворяют уравнению

Лапласа.

Пример 2. Поперечное обтекание бесконечно длинного кругового цилиндра, радиус которого г0. Рассмотрим это течение как плоское и покажем, что она

* = Ь + 42 = Г , [х + rlx/(x2 + у2)] r= Wx (г + гЦг) cos в,

тока и нулевой линией тока Q= 3WVo/2.

4 . Указать положения критических точек А и Б в случае, когда поток будет

•направлен под углом 30° к оси х.

Пример 3. Циркуляционное обтекание цилиндра (рис. 3.11),. Циркуляционное обтекание бесконечного цилиндра получим наложением полей соответствующего

На поверхности цилиндра r— r0, Wr= 0 и распределение скорости имеет вид:

3.10. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

При теоретическом исследовании обтекания тел сложной фортлы, например, авиационных крыловых •профилей, возникают боль­ шие трудности в отыскании простейших течений с известными по­ тенциалами скорости и функциями тока, которые могли бы синте­ зировать эти сложные течения. В этих случаях с успехом применя­ ется метод конформных отображений сложных профилей на дру­ гой контур, потенциал скорости которого известен. Обычно в качестве известного течения используют циркуляционное обтекание цилиндра. Метод конформных отображений основывается на тео­ рии функций комплексного переменного, поэтому все вычисления ведутся в комплексных переменных.

мый плоским потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости, ско­ рость которого на бесконечности Woo составляет угол 0 с осью х (рис. 3.12).

Требуется определить поле скоростей во всей области течения, внешней по от­ ношению к контуру /.

Пусть уже решена сложная, но чисто геометрическая задача конформного отображения —найдена однозначная аналитическая функция комплексного переменного:

конформно отображающая область внешнюю, относительно иссле­ дуемого контура I на плоскости комплексного переменного z= x + Л-iy на область, внешнюю относительно круга /*,. во вспомогатель­

ной плоскости комплексного переменного £=|-Ить а также осу­ ществляющая обратное отображение. Для того, чтобы конформное отображение было единственным, функции (3.66), в соответствии с теоремой Римана, выбираются так, чтобы точкам z = oo в физи­ ческой плоскости соответствовали точки £=оо во вспомогательной плоскости и чтобы в этих точках производная dz/d£ была положи­ тельна, т. е.

В этом случае, каждой точке z = x + iy крылового профиля I в плос­ кости z будет соответствовать одна определенная точка £ = £ + гп окружности /* во вспомогательной плоскости и наоборот. При кон­ формном отображении контуры изменяются так, что их бесконечно малые элементы остаются геометрически подобными и углы между касательными в точке пересечения двух кривых не изменяются и в данном случаеравны я. Исключение составляет особая точка В, для которой конформность отображения нарушается и острый угол отображается в угол равный я (точка В *).

Метод конформных отображений используется для решения гидродинамических задач потому, что вместе с контуром тела, при использовании той же самой функции (3.66), отображается и поле скоростей течения около него на поле скоростей циркуляционного

лы (3.50) в теории функций комплексного переменного называют­ ся условиями Коши — Римана, которые необходимы и достаточны,

чтобы выражения фН- г-ф и ф*-Н'ф* являлись аналитическими функ­ циями x()z и х* (?) комплексных переменных z= x + iy и £=|-И'т1,

Х (* )= Х (* 4 -^ )= ? + % Х*(5)=Х*(5+«Т1):=?* + ^*, (3.68)

где ф, ф —потенциал скорости и функция тока течения около про­ филя в плоскости z, соответственно; ф*, ф* — известные потенциал скорости и функция тока циркуляционного обтекания цилиндра (3.63), соответственно; %(z) — комплексный потенциал течения около профиля в физической плоскости z.

Комплексный потенциал циркуляционного обтекания кругового цилиндра во вспомогательной плоскости х*(?) получим, подставив

щим определением ф и ф.

Соотношение между комплексными потенциалами течений при конформном отображении установим, используя отображающую функцию (3.66):

Символ комплексного потенциала % сам по себе не подразуме­ вает какой-либо определенной функции, а лишь указывает, что он относится к определенному течению, рассматриваемому в данной

стоянное значение, т. е. контуры I и ■/* являются нулевыми линия­ ми тока.

С о о т н о ш е н и е м е ж д у с к о р о с т я м и н е в о з м у щ е н - н ы х п о т о к о в при конформном отображении найдем, продиф­ ференцировав (3.70) по £, учтя (3.67), и что сопряженная ско­ рость на бесконечности равна производной от комплексного потен­ циала по комплексной переменной:

Итак, при конформном отображении сохраняются неизменными на­

правление невозмущенного потока и циркуляция скорости и в rriooidzldt^oo раз изменяется абсолютная величина скорости.

П о р я д о к о п р е д е л е н и я к о м п л е к с н о г о п о т е н ц и ­ а л а о б т е к а н и я з а д а н н о г о п р о ф и л я :

1) заданный профиль конформно отображается на вспомога­ тельную плоскость £:

а) определяется радиус окружности г0 и расположение окруж­ ности на плоскости £• Для этого используются геометрическое опи­

тывается (3.72). Все эти данные подставляются в (3.69) и находит­ ся явный вид комплексного потенциала циркуляционного обтека­ ния круга

Определение ф и ф сводится к выделению действительной и мни­ мой частей (3.74).

Как видим, гидродинамическая задача отыскания комплексного потенциала обтекания заданного профиля заданным потоком не представляет труда, если известны отображающая функция (3.66) и циркуляция скорости Г.

Функция z —0,5 (£“Ьг02/£), отображающая круг на профиль кры­ ла, была найдена Н. Е. Жуковским в 1910 г. и названа его именем. Применяя эту функцию Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин получи­ ли серию теоретических крыловых профилей. Профили, отличаю­ щиеся от теоретических, при отображении дают искаженный круг и метод конформного отображения применим лишь для прибли­ женного исследования их обтекания. Циркуляция Г для круга мо­ жет иметь произвольное значение и поэтому должна быть задана такой, какая действительно возникает при обтекании профиля I.

При безотрывном обтекании авиационных профилей, имеющих заднюю острую кромку, циркуляция может иметь только одно определенное значение, обусловленное формой профиля и его рас­ положением относительно заданного невозмущенного потока. Опре­ деление циркуляции скорости около профиля будет рассмотрено в п. 18.1.