Глава 13 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК

Рассмотрим ускорение и торможение газовых потоков за счет расширения и сужения каналов или трубок тока d S /S ^.0 при отсут­ ствии остальных воздействий dG=dq=dlWT=dl?v= 0.

В этих энергетически изолированных и изоэнтропных течениях параметры торможения и их производные i*, Т*, р*, Q*, акр, tTmax.

а* постоянны. В соответствии с уравнением Бернулли dp/q=* = — WdW ускорение всегда сопровождается уменьшением статиче­ ского давления, т. е. адиабатным расширением, а торможение — повышением давления или адиабатным сжатием. При этом проис­ ходит обратимое взаимопревращение кинетической и потенциаль­

= G(W2—№1) является единственной силой, ускоряющей R > 0 или тормозящей R < .О газ на участке 1—2 канала рассматриваемого течения.

Уравнение закона обращения воздействия (11.59) для данного случая

называется формулой Гюгонио и показывает, что дозвуковой поток

М <1 ускоряется в сужающихся каналах и тормозится в расширя­ ющихся, а сверхзвуковой поток М > 1 ускоряется в расширяющихся и тормозится в сужающихся.

На практике широко используются каналы переменного сече­ ния. Это прежде всего сопла и диффузоры реактивных двигателей и их элементов: компрессоров, камер сгорания и турбин. Изучение этих важнейших течений как одномерных при отсутствии других воздействий позволяет установить их основные закономерности, а затем оценить особенности реальных течений и потери.

13.1. УСКОРЕНИЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА ПРИ ОБТЕКАНИИ ВНЕШНЕГО ТУПОГО УГПА (ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ-МАЙЕРА)

Криволинейную поверхность тела всегда можно с известным приближением, заменить граненой. Тогда расчет OW L IHHH S сверхзвуковым потоком сведется к расчету обтекания внутоенмх тупых углов (к расчету волн сжатая1) а в а^ аах Т п ы х у г 2 , т " к расчету течения Прандтля—Майера или волн расширения.

Рис. 13.1. Течение Прандтля—Майера

На рис. 13.1 представлена схема этого течения. Две полубесконечные стенки образуют внешний тупой угол А СВ = 180°+бк. Сверхзвуковой Ли>1 равномерный плоскопараллельный поток иде­ ального газа течет вдоль стенки А С энергетически изолированно и изоэнтропно.

Требуется определить изменение параметров потока при обте­

кании угла АСВ .

Фи з и ч е с к а я ка р т и н а т е ч е н и я . Вершина угла С явля­ ется источником слабых возмущений, которые в виде бесчисленного множества прямолинейных характеристик разрежения располага­ ются в пределах угла ИСК. Первая характеристика разрежения НС располагается под углом aon = arcsin (1/Мн) к вектору скорости

невозмущенного потока (см. п. 11.7). Прямолинейность характерис­ тик указывает на неизменность всех параметров потока до встречи с ними. Конечное изоэнтропное расширение газа по закону /? =

и минус и упростив, получим искомую Х=Х(ф):

^Етах■ : “ф + з.пред

Л

2

Максимальные углы поворота сверхзвукового потока от перво­ начального направления называются предельными, их величина уменьшается с увеличением А^>1:

О б т е к а н и е с в е р х з в у к о в ы м п о т о к о м в ы п у к л о й г р а н е н о й с т е н к и — это последовательное обтекание внешних тупых углов с вершинами С{,С2 ... Сп (рис. 13.6, а). Для определе­

можно представить как обтекание ломаной с бесконечным числом граней. В этом случае каждая точка криволинейной поверхности является источником элементарных возмущений (рис. 13.6, б). Для определения угла характеристики <рБ , исходящей из любой точки Б

поверхности, и определения всех параметров потока, на ней необхо­ димо через исследуемую точку провести касательную и определить

течения Прандтля—Майера й косых скачков уплотнения.

На рис. 13.7 представлена схема плоскопараллёльного обтека­ ния бесконечно тонкой пластины, установленной под углом атаки i к вектору скорости сверхзвукового потока Ап>1. Требуется опреде­ лить подъемную силу Ryi силу лобового сопротивления Rx и их ко­

Полная аэродинамическая сила при заданных условиях равна разности давлений, умноженной на площадь пластины, нормальна к пластине и приложена в центре тяжести

R = [ P l — P 2)$-

Подъемную силу и силу лобового сопротивления найдем в со­ ответствии с определением и с рис. 13.7:

Ry= R cos i = (P\ —/?2*^ cos i и Rx=^(pl — p2)S s\n i.

стенки. В результате aTqro между отклоненным потоком и стенкой возникнет внешний тупой угол 180°+d6, генерирующий отражен­ ную характеристику разрежения НКУна которой поток совершает поворот по часовой стрелке на угол d8. Угол отраженной характе­ ристики а0к<аон, так как МК>М Ы.

Задача 13.6. Показать, что при падении на стенку характеристики сжатия

отразится характеристика сжатия и угол ее отражения будет больше угла па­ дения.

L

Рис. 13.9. Отражение и пересечение характеристик:

а—отражение характеристики разрежения от стенки; б—то же для волны разрежения; в—то же от границ свободной струи

Если на стенку падает волна разрежения (рис. 13.9, б), то от­ раженные характеристики разрежения расходятся веером, как бы продолжая падающую волну. Для того, чтобы падающие характе­ ристики не отражались от стенки, ее необходимо спрофилировать так, чтобы в месте падения каждой характеристики стенка откло­ нялась бы от прежнего направления на угол поворота потока на данной характеристике.

При падении на стенку волны сжатия отражаются характерис­ тики сжатия, при этом они сходятся. При их сложении может воз­ никнуть ударная волна.

На рис. 13.9, в представлена схема течения в виде плоскопа­ раллельной струи, отделенной от неподвижного газа поверхностью тангенциального разрыва скорости НК.

Волна разрежения падает из вершины тупого угла на поверх­ ность тангенциального разрыва скорости НК и отражается в виде сходящегося пучка характеристик сжатия. Давление в невозмущен­ ном потоке левее первой характеристики НС равно давлению рн окружающей среды, так как граница струи не удерживает перепа­ да давления. За характеристикой разрежения НС давление p i< p H- Но вблизи границы струи давление должно быть равно давлению рн окружающей среды. Следовательно, от точки Н границы свобод­ ной струи должна отразиться характеристика сжатия, на которой давление потока повышается от р\ до рн. Таким образом, давление по обе стороны границы струи остается pUj а внутри струи — более

низким.

Итак, при отражении характеристик от твердой стенки тип воз­ мущения сохраняется: характеристики разрежения отражаются в

разрежения 3—К' и 3—К и отходящими от кромок сопла К’—А и К—А, сверхзвуковой поток однороден. Эта область называется ромбом измерений, так как в сверхзвуковых аэродинамических тру­ бах в эту область устанавливают исследуемые модели. Рассмот­ ренный пример иллюстрирует метод характеристик, применяемый для профилирования сверхзвуковых частей сопел Лаваля.

13.3. УСКОРЕНИЕ ДОЗВУКОВОГО ПОТОКА

ВСУЖАЮЩЕМСЯ СОПЛЕ ПРИ ОДНОМЕРНОМ ИДЕАЛЬНОМ ТЕЧЕНИИ

13.11), соединен сужающимся соплом с внешней средой, в которой давление заданной величины рн может устанавливаться с помощью отсасывающего вентилятора. Отметим параметры потока на срезе сопла индексом с, а в произвольном сечении — индексом х. Рас-

Рис. 13.11. Режимы истечения из сужающегося сопла

смотрим влияние располагаемого отношения давлений рн/р* на распределение параметров вдоль сопла и на их величину на сре­ зе сопла.

В связи с энергетической изолированностью и изоэнтропностью течения при любом режиме истечения, параметры торможения сох­ раняют постоянное значение ТХ* = ТС* = Т*, Рсс* = Рс* = Р*- Поэтому режим истечения из сопла определяется величиной

позволяющей определить Хс и, следовательно, все параметры. Та­ ким образом задача исследования сводится к определению рс =

=1(рн1р*).

Втеории сопел используются также обратные величины: распо­

лагаемое отношение давлений я срасп = р*/рн и отношение давле­ ний сопла Яс*=Рс*/Рс-

В о з м о ж н ы е р е ж и м ы р а б о т ы с у ж а ю щ е г о с я

. сопл а:

1. ри/р*=1. Перепада давления нет. Давление во всем тракте сопла постоянно — р = рс = р* = ри; п(Хс) =Рс1р*=Р*1р* = 1, А,с = 0 и истечение отсутствует. На графиках рис. 13.11 это состояние отме­ чено точками 1*.

2. 1 > Ри//?*>я(1) = РкР/р* Располагаемое отношение давлений меньше критического и может обеспечить только дозвуковую ско­ рость истечения Wc< a. При дозвуковых скоростях истечения дав­ ление на срезе сопла равно давлению в окружающей среде рс=Рн-

Это равенство поддерживается автоматически: если давление на срезе сопла окажется больше или меньше давления окружающей среды, то волны разрежения или давления из окружающей среды со скоростью звука, большей скорости истечения, достигнут среза сопла и восстановят рс = Рн• Это Важнейшее условие позволяет оп­ ределить %с по я(А,с) = р с/Рс*=Рн/р*. В рассматриваемой области

.Рн/Р*>я(1) уменьшение рс= рн от р* до рз=Ркр приводит к измене­ нию распределения давления и скорости внутри сопла — к увели­ чению dW/dx, абсолютного значения dp/dx<.0, скорости Wc, при­ веденной скорости Хс и расхода газа G (см. рис. 13.11). Процесс

4. рн/р* < .я (1). Сверхкритическое отношение давлений. В этой области перепадов в сопле реализуется критическое истечение 7*—3. Давление на срезе сопла остается критическим, большим давления окружающей среды рс = Рз= Р*я(1) >Ри. В соответствии с этим действительным перепадом давлений на сопле (рс кр/Pc*) по­ ток ускоряется лишь до скорости звука А,с= 1. Остающаяся часть располагаемого перепада давлений р3кр—рн и теплосодержания /Кр— для ускорения потока в сужающемся сопле не может быть использована и диссипирует в окружающем пространстве. Поэтому на диаграммах рис. 13.11 эти перепады изображены пунктиром. При Рн/р*<я(1) сопло оказывается изолированным от внешней среды. Это явление называется запиранием сопла и кризисом геометриче­ ского воздействия. Это явление соответствует закону обращения воздействия (13.1): максимальная скорость в сужающемся сопле может быть получена только на срезе и не может превышать ско­ рость звука. Физически это объясняется тем, что при снижении дав­ ления в окружающей среде до Ри<р1ф волны пониженного давле­ ния не достигают среза сопла, так как сносятся потоком, истекаю­

Каждый возможный режим течения при заданных р* и Т* опреде­ ляется условиями на входе (Mj шли pjp*) и располагаемым отно­

в сужающемся канале и изоэнтропно расширяется (pr< P i), но в

IV рассмотрим более подробно, так как он реализуется в сверхзву­ ковых соплах Лаваля, широко применяемы* в реактивных двига­ телях, газовых и паровых турбинах и т. д.

Дозвуковой поток М |< 1 ускоряется в сужакицемся канале до скорости звука в горле Хг=1. Таким образом, в Идеальном сопле Лаваля критическое сечение или сечение переходя Я=М =1 совпа­ дает с горлом сопла. Затем сверхзвуковой поток Продолжает уско­ ряться в расширяющейся сверхзвуковой части ^0пла Лаваля до

при заданных р* и Г*, расход газа через канал с горлом максима­ лен при максимальном значении ^ (Хг) = 1, т. е. при совпадении се­ чения перехода А=М=1 с сечением горла (5r= SHp). Расход газа

вается по уравнению неразрывности для сечения х и критического

ТХ = Т*т(У; Qx= QH(Xx); Wx= lxaK?.

Приведенная методика расчета идеальных течений применима для приближенного расчета реальных хорошо спрофилированных сопел Лаваля, так как гидравлические потери в них невелики.

71*, 5кр, Sc в зависимости от давления /?н окружающей среды, соп­ ло Лаваля может работать на режимах расчетном, недорасширения, перерасширения, смешанном и дозвуковом (рис. 13.13).

1. Расчетный режим — давление на срезе сопла равно давлению окружающей среды рСр=Рвь Изменение скорости и давления газа

идеальный газ. При истечении реального газа скорость его по ме­ ре удаления от сопла уменьшается за счет турбулентного смеше­

ния с окружающим газом.

2. Режим недорасширения — давление на срезе сопла больше давления окружающей среды рСд>Рн- Степенью нерасчетности на­ зывается величина n= pcv/pK. Изменение скорости и давления газа в тракте сопла на режиме недорасширения полностью совпадает с расчетным (линия I—II—1) и давление на срезе сопла и скорость истечения остаются расчетными рср и Wcv\ волны пониженного

режения. На этих волнах сжатия поток последовательно окима-

/ — как на срезе сопла. Полученная структура называется бочкой и в дальнейшем повторяется бесконечное число раз. Течение реаль­ ной жидкости сопровождается турбулентным смешением с внешней

сравнивается с давлением в окружающей среде. При больших сте­ пенях недорасширения n= pJpB> 2 вместе с изоэнтропньщи волна­ ми расширения и сжатия в осесимметричной струе возникают скач­ ки уплотнения (рис. 13.15). В этом случае недорасширенный сверх­ звуковой поток поворачивает на характеристиках около кромок С

диск Маха; d—е н dx—ei—отраженный скачок;

и Ci сопла на больший угол б и течет вдоль границ струи СНК\ и С\Н\К\С] с давлением, равным давлению рп окружающей среды. В областях, прилегающих к оси струи, поток сильно перерасширяеТСЯ Росев^^Рн*

Из-за отклонения границы струи на больший угол б и ее искривления, характеристики сжатия (отраженные от границы струи) об­ разуют сходящийся узкий пучок, направленный к оси. Висячий ска­ чок уплотнения 1 есть результат сложения характеристик сжатия. Возникновение висячего скачка уплотнения в осесимметричной струе объясняется сверхзвуковым радиальным растеканием сильно перерасширенного газа из центральных областей в периферийные, где давление равно давлению окружающей среды. Этот скачок яв­ ляется поверхностью вращения, при приближении к соплу ослабе­ вает и не доходит до кромок сопла, поэтому и называется висячим. В осесимметричном течении криволинейный висячий скачок не мо­ жет правильно, регулярно отразиться от оси, поэтому возникает как бы маховское отражение от оси в виде прямого скачка d—d\y который называется диском Маха и за которым течение становится дозвуковым. От диска Маха d—d\ отходит кольцевой скачок d—е9 который отражается от границы струи (точки е) в виде волн разрежения. В сечении е—в\ заканчивается первая бочка и начи­ нается подобная ей вторая, за ней третья и т. д. Для того, чтобы в сечении е—в\ возникла вторая бочка, необходимы недорасширен­

.ресекает два косых скачка: за висячим скачком давление становит­ ся атмосферным рп, за скачком d—ер>ри и поток направляется к оси, образуя сужающийся жидкий контур, в котором дозвуковой поток ускоряется до скорости звука в минимальном сечении. Затем, периферийный поток поворачивает в волнах разрежения, выходя­ щих из точек (е—е\), ускоряется и образует расширяющийся кон­ тур, в котором внутренний поток принимает сверхзвуковую ско­ рость. Потери полного давления в скачках уплотнения предшеству­ ющих бочек приводят к ослаблению последующих скачков: умень­ шаются давление в начале, перерасширение в средней части, диа­ метр максимального сечения. Постепенно струя становится изобар­

е—е, равно окружающему. Поэтому последующие бочки отсутству­ ют — имеет место изобарная сверхзвуковая струя.

При недорасширенном истечении из сужающегося сопла име­ ют место подобные структуры сверхзвуковых струй с той лишь раз­ ницей, что первые характеристики разрежения лежат в плоскости среза сопла и поэтому искривление границы струи начинается от кромок сопла.

3. Режим перерасширения — давление на срезе сопла меньше давления окружающей среды рс<РнДо некоторого предела повы­ шение давления окружающей среды (рн4 на рис. 13.13) не влияет

на течение по соплу, которое остается расчетным (линия I—II— 1—4): волны повышенного давления сносятся сверхзвуковым пото­ ком, истекающим из сопла.

Возможность перерасширения сверхзвукового потока в сопле Лаваля широко используется в аэродинамических трубах для полу­ чения сверхзвуковых скоростей п(Хс) = рс/р* больших, чем это со­ ответствует располагаемому отношению давлений я(1н) =

= Рп/р* (ри>Рс и Х с Ж ) -

Структура плоско-параллельной струи за соплом при давлении окружающей среды риз показана на рис. 13.16, а. Перерасширенная струя (линия тока Л —Т) сжимается ударно на косых скачках уп­ лотнения СВ и С\В до давления окружающей среды рг=Рнз и те­ чет к оси в области 2, отделенной от окружающей среды границей свободной струи СА и СгА\. Вторично эта струя ударно сжимает­ ся на отраженных скачках ВА и BAh принимает осевое направле­ ние и давление р\> рш. Косые скачки ВА и ВА{ отражаются от

приобретает уже разобранную структуру (см. рис. 13,16а и 13,14). С повышением давления окружающей среДы Увеличивается угол косых скачков СВ и С\В, уменьшается скоРость потока за ними и увеличивается угол поворота на скачках ВА и ВДЬ который необ­ ходим для придания потоку осевого направления в области 1. Ког да этот угол и становится больше сот ах (см- п- 12.2), система косых скачков перестраивается в так называемую мостообразную (рис. 13.16,6) с прямым скачком в области оси и отраженными скачками

течение оказывается невозможным и прямой скачок уплотнения размещается на срезе сопла Лаваля, за которым поток уже дозву­ ковой. При дальнейшем повышении давления до рн5... рН8 (см. рис.

н> КI

13.13) ударная волна перемещается внутрь сопла, так как скорость ее распространения сверХзВуК0Вая. Например, при рн7 реализуется течение дозвуковое в сужающейся части сопла, сверхзвуковое на

участке II— V в РасшиРяющейся части до ударной волны и дозву­ ковое на участке VI—7 За уДарНой волной. Наконец, при рН8 ска­

чок доходит до критического сечения и исчезает. При рн9 устанав­ ливается режим полностью дозвукового течения трубки Вентури. На режимах рИ4 ••• Рм Дозвукового истечения из сопла Лаваля дав­ ление на срезе сопла равно давлению окружающей среды.

можно получить с п°мощЬю измеНения полного давления р* от его расчетного значения. При сверХзвуковом течении в расширяющей­ ся части приведенная ск0роств в любом сечении х сопла определя­

ется только отношением площадей чО**' ^ S HP/S*. Поэтому, при увеличении р* на входе в сопл0, статическое давление рх=р*п{%х) повысится во всех сеченИях и установится режим недорасширения

Задача 13.12. Гипотетический ракетный двигатель с идеальным соплом Ла­ валя о кр=|0,01 м2, р*=1'07 Па, Г*=2500 К, к=1,4, «='287 Дж/кг К работа­ ет на высоте Н = 30 км. Определить тягу R и площадь среза сопла Sc при рас­ четном режиме работы рс= р н> а также процент 6R снижения тяги при умень­

13.5. сопло с косым СРЕЗОМ

При недорасширенном истечении из плоского сопла Лаваля ис­ пользованный в укороченном сопле перепад давления рс—Рв затра­ чивается на увеличение скорости вне сопла (см. рис. 13.14). При этом этот поток поворачивает около кромок С и С\ сопла на угол б, определяемый в теории течения Прандтля—Майера. В газовых и паровых турбинах для получения потока максимальной скорости, отклоненного на угол б от осевого направления, используются соп­ ла Лаваля или сужающиеся сопла с косым срезом, в которых пло­ скость среза сопла не перпендикулярна оси потока (рис. 13.18).

Рассмотрим схему и работу расчетного сопла Лаваля с косым срезом. В области ССХН сверхзвуковой недорасширенный поток (>«с>1, Рс>Ри) течет параллельно плоской стенке СН. Кромка С\

сопла генерирует волну разрежения НСЛК. Первая характеристика

СХН располагается под углом a0C = arcsin (1/Мс), а последняя С\К

при расчетном режиме совпадает с косым срезом сопла. Козырек НК спрофилирован по уравнению (13.13), т. е. воспроизводит ли­ нию тока течения Прандтля—Майера. Поэтому характеристики

разрежения, падающие на поверхность козырька НК, не отража­

ются. Весь поток в течении Прандтля—Майера (см. п. 13.1) в пре­

делах угла НСЛК расширяется до р~рк=Рв и ускоряется до я(^ц) =Рк1р* и поворачивает от оси на угол б.

Если вся стенка СК плоская, то возникают отраженные харак­ теристики разрежения и струя принимает более сложную конфигу­ рацию, которую можно рассчитать, используя метод характеристик. Однако приближенный расчет может быть выполнен по теории те­

Реальные течения в сужающихся соплах и в соплах Лаваля рассматриваются в п. 15.7.

Глава 14 ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК

РАСХОДНОЕ, ТЕПЛОВОЕ, МЕХАНИЧЕСКОЕ, ТРЕНИЯ И КОМБИНИРОВАННОЕ

Каждое воздействие будем рассматривать в одномерной поста­ новке и при отсутствии других воздействий. Исключение составит рассмотрение комбинированного воздействия.

Прямую задачу сформулируем следующим образом: Да но : 1. Площадь сечения канала S = const.

2.Совершенный газ к, R, Ср.

3.Неизмененные параметры торможения газа в сечении 1— 1 до

воздействия Г**, pi*.

4. Приведенная скорость Ли, которая может самопроизвольно из­ меняться до Х\ при воздействии, превышающем критическую вели­ чину (см. ниже).

5.Величина воздействия.

6.Давления р\ и р2, необходимые для осуществления данного течения.

W2, G/, G2. Одновременно рассмотрим обратную задачу — опреде­ ление величины воздействия для получения заданных параметров в сечении 2—2.

К р и з и с в о з д е й с т в и я ( з а п и р а н и е к а н а л а ) для любого воздействия состоит в том, что дозвуковой поток, в соответ­ ствии с уравнением (11.59) закона обращения воздействия, за счет воздействия одного знака можно разогнать только до скорости зву­ ка, которая поэтому может установиться только на срезе канала. Величина критического воздействия для данного газа определяет­ ся величиной При дальнейшем увеличении воздействия на срезе трубы сохраняется критическое истечение Л2=1, а расход газа в се­ чении I — 1 снижается и вместе с ним приведенная скорость до к\'9 для которой новая величина воздействия является критической.

С в е р х з в у к о в о е с о пл о . Критическое течение Х= 1 можно получить и в промежуточном критическом сечении трубы, если за этим сечением изменить знак воздействия на обратный и продол­ жать ускорять уже сверхзвуковой поток. Так можно получить рас­ ходное, механическое и тепловое сверхзвуковые сопла и диффузо­ ры. С помощью однозначного воздействия трения невозможно осу­ ществить плавный переход через скорость звука.