Глава 4
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
Получим и рассмотрим уравнения движения, энергии и второго закона термодинамики для общего, случая неустановившегося про странственного движения сжимаемой вязкой жидкости.
4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Уравнение движения жидкости и моментов количества движе ния были получены в 1755 г. академиком Российской Академии Наук Эйлером (1707—1783 гг.). Эти уравнения лежат в основе возникшей тогда новой науки— гидродинамики со строгими мате матическими методами решения ее задач.
И н т е г р а л ь н о е у р а в н е н и е д в и ж е н и я д л я ж и д к о го о б ъ е м а получим как обобщение второго закона Ньютона о
движении материальной точки |
|
d(mW)/dt = R, |
(4.1) |
где т—масса материальной точки, кг; W — скорость движения ма териальной точки, м/с; mW — количество движения материальной
точки, кгм/с; R —равнодействующая сил, действующих на мате риальную точку, Н.
Задача 4.1. Дайте формулировку второго закона Ньютона и проанализируй те его физический смысл.
Выберем в потоке контроль ный объем V, заполненный в мо мент времени t жидким объемом (рис. 4.1) так, что контрольная поверхность (сплошная линия) и граница жидкого объема или жидкая поверхность (пунктирная линия) в момент времени t сов падают. Внутри объема V могут находиться твердые тела — не подвижные или подвижные (ло пасти турбомашин), производя щие обмен теплом и механичес кой энергией между жидкостью
и внешней средой. В этом случае к внешним участкам контроль ной поверхности и жидкой поверхности, обозначенными цифрами 1 и 2, добавляются внутренние участки 3, 4, 5, 6, вырезающие части объема, занятые не жидкими частицами, а твердыми телами. Рас ход жидкости через эти дополнительные участки контрольной по верхности равен нулю, так как твердые тела непроницаемы для жидкости, а количество жидкости, вытекающей из контрольного объема через поверхность 3, равно количеству жидкости, втека ющей в него через поверхность 4 (эти поверхности расположены сколь угодно близко друг к другу и одинаковы по площади). Итак, выделенный объем содержит только жидкие частицы.
Уравнение (4.1) справедливо для любой частицы, находящейся в объеме и имеющей плотность Q*, объем dVi, скорость Wu т. е.
|
d(QidV iWi)/dt = W h |
(4.2) |
|
где ARi — равнодействующая внешних сил, действующих |
на час |
||
тицу I. |
|
|
объема |
Интегральное уравнение движения для всего жидкого |
|||
V получим суммируя уравнения типа (4.2) по всем жидким части |
|||
цам, заключенным внутри жидкой |
поверхности в момент време |
||
ни t: |
|
|
|
\ — |
(QWdV) = — |
[QWdV = Ri, |
(4.3) |
J dt |
dt |
j |
|
v |
|
v |
|
гд е -^ - Г QWdV |
—полная производная по времени от вектора сум- |
dt J |
___ |
v |
марного количества движения жидкого объема; R$ — вектор раз нодействующей всех внешних сил, действующих на жидкий объем в момент времени t.
При суммировании, силы взаимодействия между жидкими час тицами, согласно третьему закону Ньютона, уравновешиваются.
Поэтому, равнодействующая Rs в соответствии с (1.6) и (1.8) рав на сумме внешних элементарных массовых—Rm и поверхностных— #S(.1...6) сил
^ = 2 д^ = ^ + ^ (1 . . . б ) = [ ^ + |
§ rdS. |
V |
s (1 ...6) |
Поверхностные силы должны суммироваться по жидкой поверхно сти. Однако поскольку в момент суммирования t жидкая поверх ность совпадает с контрольной, то в дальнейшем удобнее считать, что суммирование ведется по контрольной поверхности Sa„.6), вклю
чающей все участки 1, 2, 3, 4, 5, 6. |
__ |
Си л а р е а к ц и и ж и д к о с т и |
R — поверхностная сила, с ко |
торой жидкость действует на обтекаемые ею тела. По абсолютной величине она равна и обратна по знаку равнодействующей, с кото рой твердые тела (подвижные и неподвижные) действуют на жид кость. В данном случае (см. рис. 4.1) взаимодействие происходит
на внутренних участках контрольной поверхности S5+56=S(5;6), а силы, действующие на 53 и 54, взаимно уравновешиваются и сила реакции жидкости будет
Н = — RS(5.6) = — j |
r d S ~ — / |
j atidS-1- |
j |
td 5 \ , (4.4) |
•S(5; 6) |
\ |
5 (5; 6) |
5 (5; 6) |
/ |
где п —орт нормали к площадке-^5; 5(5;б>—поверхность твердых
тел, обтекаемая жидкостью.
Равнодействующая поверхностных сил, действующих на всн> контрольную поверхность S(i...6) определяется по формуле
^•y( 1...6) = = ^ ( l ; 2) + J^ S (5; 6) = : '^ 5 ( l ; 2) — |
( ^ - |
где/?$(1;2) — равнодействующая поверхностных сил, действующих
на части контрольной поверхности 1 и 2, через которые происхо дит обмен жидкостью между выделенным контрольным объемом,
иокружающей средой.
Сучетом силы реакции жидкости интегральное уравнение дви
жения жидкого объема (4.3) примет вид:
- ^ |
j e ^ |
= |
^ a= ^ + |
^ (li2)+/?S(5se)= ^ + |
^ (1.a)-i? . |
(4.б> |
|
V |
|
|
|
|
|
Итак, |
на |
основании |
интегрального уравнения движения |
(4.3) |
||
или |
(4.6) |
можно утверждать, что производная по времени суммар |
||||
ного количества движения жидкого объема |
равна сумме |
всех |
||||
внешних сил, действующих на этот объем. Это уравнение является самым общим динамическим уравнением гидрогазодинамики. Оно применимо для объема любой величины и для любого (даже раз рывного) движения, при котором параметры состояния жидкости н
характеристики движения |
претерпевают разрыв |
внутри объема. |
||
Это уравнение является исходным для |
расчета сил, действующих |
|||
в потоках жидкости. |
|
|
|
|
Р а с ч е т н а я |
ф о р м а |
и н т е г р а л ь н о г о |
у р а в н е н и я |
|
д в и ж е н и я д л я |
к о н т р о л ь н о г о |
о б ъ е ма . |
Преобразуем |
|
полную производную по времени суммарного количества движения к форме, удобной для решения практических задач. Пусть в мо мент времени t жидкий объем занимает контрольный объем III+1 (см. рис. 4.1). Обозначим суммарное количество движения жидко
го объема в этом положении через Kt= KIIIt-\- К7/. За время At жидкий объем переместится и займет положение /+ //. При этом, под действием сил, его суммарное количество движения изменится
и будет К/+д/ = К/*+д/-|-К///+д*- Тогда, по определению, производ ная по времени суммарного количества движения жидкого объема
будет — |
-\oW dV = \\т ■-*.f -___ - . |
Подставляя в это выраже- |
||
dt |
J |
м -►о |
М |
|
|
v |
|
|
|
ние значение суммарных |
количеств |
движения |
и группируя |
члены |
|
с одинаковыми |
числовыми индексами, получим |
|
|||
~ \ Q & dV= lim |
Tt» +^ ~ 'K» |
+ шп *//*+«- V . |
(4. 7) |
||
d t J |
д/_о |
At |
д/-»-0 |
А* |
|
При Д ^О часть жидкого объема Л+д/ стремится к контрольному объему IJI+ 1 и первый член правой части (4.7) будет частной про изводной суммарного количества движения жидкости в .контроль ном объеме по времени
Пт |
At |
= J L [ QWdV |
(4.8) |
д<-й) |
dt ,) |
|
|
|
|
V |
|
При установившемся течении эта реличина равна нулю. Учтем, что контрольная поверхность 5(1...6) состоит из поверхности SBbIXl через
которую жидкость вытекает из контрольного объема, и 5ВХ— через которую она втекает в него, а элементарная масса жидкости, отме ченная на рис. 4.1 штриховкой — dGBblxAt=QWudSBblIAt, получим, что .второй член правой части (4.7)
lim |
К//<+А< |
_ г QWnwds ~ |
\ QWnWdS |
(4.9) |
д<->0 |
At |
J |
J |
|
|
|
^вых |
®вх |
|
представляет разность между секундными количествами движения жидкости, вытекающей из контрольного объема и втекающей в не
го. Величина \QW„WdS называется также потоком количества дви- s
жения жидкости, протекающей в секунду через данную поверх ность. Подставляя (4.8) и (4.9) в (4.7), а результат в (4.3), полу чим расчетную формулу интегрального уравнения движения для контрольного объема:
|
|
|
^ QW„WdS — J QWn&dS, |
(4.10) |
|||
|
|
У |
5 вых |
*вх |
|
|
|
где |
определяется формулой (4.6). |
|
|
|
|
||
|
П е р в а я |
т е о р е м а |
Э й л е р а |
на основании |
(4.10) |
уста |
|
навливает, что |
равнодействующая внешних сил |
, |
действующих |
||||
в данный момент на жидкость в контрольном объеме, равна изме нению во времени суммарного количества движения жидкости в
этом объеме |
(частная производная по времени) |
плюс разность по |
|
токов количества движения жидкости на выходе |
из контрольного |
||
объема и на |
входе |
в него *. |
|
‘Уравнению |
(4.10) |
можно придать форму Лъ = ~ ^ QXfrdV + ф |
|
|
|
V |
so;2 ) |
Следовательно, количество движения, втекающее в контрольный объем, принято отрицательным, а вытекающее — положительным.
И н т е г р а л ь н о е |
у р а в н е н и е д в и ж е н и я д л я к о н т |
р о л ь н о г о о б ъ е м а |
в проекциях на ось х получим, подставив |
значение Rs из (4.6) в |
(4.10) и спроектировав его на ось х : |
|
- R x |
_д_ |
(4.11) |
Rъх— dt |
|
где символ 5 у интеграла обозначает площадь контрольной по верхности, не соприкасающуюся с твердыми поверхностями, a Rx — проекция на ось х сил действия жидкости на твердые поверхности, соприкасающиеся с контрольной 'поверхностью.
|
|
Задача |
4.2. Напишите уравнение (4.10) |
||
|
|
в проекциях на оси у и z для неуста-но- |
|||
i z |
|
вившегося |
и установившегося |
течений. |
|
|
Сформулируйте для этих случаев первую |
||||
Рис. 4.2. Контрольный объем |
теорему Эйлера. |
|
|||
И н т е г р а л ь н ы е у р а в н е н и я |
|||||
для элементарной струйки |
|
||||
ного к о н т р о л ь н о г о |
|
д в и ж е н и я д л я п р о и з в о л ь |
|||
о б ъ е м а э л е м е н т а р н о й |
с т р у й |
||||
ки при установившемся течении в проекциях на оси х, у, z (рис. 4.2). Подставив в уравнение (4.11)
-^-^QUdV = 0; \ Q2\y u2u2dS = G2u2, J QiWntuld S = G lul
и G2= G I — G,
получим уравнение движения в проекциях на ось х и по аналогии для осей у и z
RZX^ Q { U2 — «J); RSy=;G(v2 — «,); |
(4.12) |
RVZ= G (W2 — W i), |
|
т. e. проекция равнодействующей всех внешних сил, приложенных к струйке жидкости на любом ее участке, равна проекции на ту же ось разности потоков количества движения на выходе из уча стка и на входе в него или равна произведению расхода на прира щение проекций скорости.
Задача 4.3. Используя (4.12) укажите необходимые и достаточные условия движений жидкости ускоренного, замедленного и без ускорения.
Одной из важнейших задач гидрогазодинамики является опре деление сил взаимодействия между жидкостью и обтекаемыми те
лами, т. е. сил R. Эта задача может решаться двумя способами. Первый основывается на (4.4) и требует вычисления интегралов по поверхности тел от нормальных и тангенциальных напряжений, что во многих случаях представляет непреодолимые трудности. Второй способ основывается на применении уравнения движения
Высоконапорный поток яри смешении передает часть количества движения низ конапорному. Для определения давления рз используем уравнение движения (4.1 1 ). По условию напряжение трения на контрольную поверхность не дейст-
вует = 0, проекция'Массовых сил на ось х равна нулю J XQdV=0, так
как ось х горизонтальна, а течение происходит в поле сил тяжести, когда Х= = У= 0, a Z=—g. Силы давления на цилиндрическую поверхность 1—3 уравно
вешиваются. Поэтому проекции на ось дг, отличные от нуля, дают только силы давления на сечение 1—1 — pi(Si+Sz) —р А и на сечение 3—3 (—рз$з). В пра
вой части (4.11) член _д |
вследствие стационарности течения, а про- |
dt V |
|
екции потоков количества движения принимают простой вид
f QWntidS = QU|5 3 , f QWnudS = Qu^Sj + Qu|S2.
5вы*
Подставляя все эти значения в (4.11), получим
|
(Pi “ Рз) $з = Q«3*^3— |
i — QM2^2 |
иди |
Рз = Pi + Q |
аз^3)/^з |
откуда |
103 (3Q2-10—3 + юг. 10—2— 11,82-1,1-10-2) |
|
= 2-105 -f- |
=2,33-105 Па |
|
|
1, 1- |
10-2 |
Увеличение статического давления в камере смешения соответствует уменьше нию количества движения жидкости, что объясняется уменьшением кинетической энергии жидкости за счет выравнивания поля скоростей.
Пример 2. Опр е де л ени е сил действия |
ж ид к ос ти на с т е н |
ки расширяющегося, с у ж а ю щ е г о с я |
и ц и л и н д р и ч е с к о г о |
каналов. Определим проекцию Rx на ось х силы, с которой жидкость дейст
вует на стенки расширяющегося канала (дозвукового диффузора) и тел, скреп ленных с его стенками (рис. 4.4). Примем, что течение, установившееся в виде элементарной струйки; параметры потока в сечениях 1—1 и 2—2 соответственно ри Pi и W*, р2, рз; площади сечений и S2; давление неподвижной окру
жающей среды р0.
Сила Rx имеет составляющие внутреннюю Rx вн и легко определяемую на ружную Rx н. При Рн= const и отсутствии трения
/?хн= ($2— ^l) Ре»
(4. 13)
Rx = Яхъп + Лхн= &хля + ($2 — <Si)Рн-
Рис. 4.4. Расширяющийся ка нал
Сила Rx ан» к определению которой сводится
задача, |
представляет |
сумму |
проекций на |
ось х |
слл трения и |
давления, |
с которыми |
жидкость действует на внутренние поверхно сти стенок канала 1—2 и на твердые тела, размещенные на участке /—2. Расчет ее по
(4.4) неосуществим, так как не известно рас пределение напряжения трения п давления по поверхностям. Поэтому, для определения силы Rx вн используем интегральные уравнения
движения (4.11) и (4.12). Торцевые участки контрольной поверхности 1—1 и 2—2 совмес
тим с входным и выходным сечениями канала, а боковой— с внутренней поверхностью сте нок 1—2 (см. рис. 4.4). Выделение твердых
тел, находящихся в потоке, на рисунке не по казано, но подразумевается. При выбранных контрольной поверхности и оси х первый н второй члены (4.11) равны нулю, так как
учягт^яуЯ^пцТп жид^ости в контрольном объеме перпендикулярна к оси ' 3 на участках контрольной поверхности 1—1 ,и 2—2, перпендикулярных к ли
ниям тока, т = 0, а а = р и |
= |
PlS , - p2S2. |
|
Правая часть (4.11) может быть представлена в виде правой части (4 .1 2 ), |
т. е. |
||
P iS i— p 2S 2— RXBH= G (W 2— W l) или |
|
|
|
Rxвн = - [(P 2S2 — piS,) + 0 (1 ^ 2 - W{)\ = (Pls l + GWi)— (p2S 2 + GW2). |
(4.14) |
||
Величина pS+GH7=<l> называется полным импульсом |
жидкости в данном се- |
||
Подста-вляя это значение Rx DH в |
вн — Ф1— Фг« |
(4.15) |
|
(4.13), получим |
|
|
|
R x — Ф1 —-Ф2 + (52— S x) рн. |
(4. 16) |
||
Сила Rx воспринимается узлами крепления конструкции. Осевая сила действия жидкости на стенки сужающихся и цилиндрических каналов рассчитывается по тем же формулам (4.13) —(4.16). Знаки Rx вн и Rx определяются величинами положительных и отрицательных сил их составляющих и, в зависимости от усло
вий, могут быть любыми для любых каналов с машинами внутри. Знак и вели чина Rx и определяются по (4.13).
З н а к с и л ы Rx DH. В соответствии с (4.15) Rx вн>0, при уменьшении пол ного импульса жидкости Фг<Ф1 и Rx вН<0, при его увеличении Ф2>Ф ь Умень шение полного импульса всегда обусловлено действием на жидкость твердых поверхностей с тормозящей силой, а увеличение — с ускоряющей силой (совпада ющей по направлению со скоростью). Скорость потока в обоих случаях может изменяться любым образом, так как ее изменение определяется направлением суммарной с и л ы а не силой (—Rx вн). Сила Rx вн<0 для летательного аппа рата является положительной составляющей силы реактивной тяги, a Rx вн>0— отрицательной.
Короткие расширяющиеся каналы без тел внутри применяются как дозвуко вые диффузоры, например в ВРД, и как сверхзвуковые части реактивных сопел. В этом случае сила трения не велика и ею в первом приближении пренебрегают. Тогда из рис. 4.4 следует, что Rx вн, слагающаяся только из проекции элемен тарных сил давления на внутренние поверхности стенок, отрицательна, т. е. явля
ется положительной составляющей силы тяги. |
|
полного |
импульса |
Задача 4.4. Определить направление Rx вп и изменение |
|||
жидкости для сужающегося канала и изобразить |
схему |
нагружения |
стенок. |
Укажите разницу между силами Rzx >Rx* Rxant Rxн* |
изобразив их составляю |
||
щие. Каково правило знаков для этих сил?
Для цилиндрической трубки при отсутствии между сечениями 1—1 и 2—2
твердых тел и |
пренебрегая трением, получим, что /?*вп = 0, так |
как силы дав |
||||
ления перпендикулярны к оси и уравнения движения |
(4.15) и |
(4.16) свиде |
||||
тельствуют о неизменности полных импульсов. |
|
|
|
|||
|
|
Ф2 = <t>i или GW\ + p\S = GW2 + |
P2S » |
(4. 17) |
||
но |
|
G = QI^1*5I = |
62^ 2^2 ИЛИ QW\ = Q2W2 |
И |
|
|
|
P i— P2 = |
Q l^ l 0^ 2— |
= Q2W2(W2— W\) = Q1W1W2— Q2W1W2 |
18) |
||
ИЛИ |
Pi — P2 = |
Q2W2 ■“ Q l^ ? • |
|
|
(4. |
|
|
|
|
|
|||
Для |
несжимаемой жидкости p2 = Pi; W2= W l и р2= ри |
т. е. при Я* в н -0 тече |
||||
ние жидкости вдоль цилиндрической струйки не изменяется. |
|
|
||||
|
Для сжимаемой жидкости |
в цилиндрической струйке параметры могут из |
||||
меняться и при Rx пн=0 и Ф2=Ф ь Для этого необходимо лишь изменить плот
ности рг^рь например за счет подвода или отвода тепла.
Задача 4.5. Пренебрегая трением определить для форсажной камеры X—Ф (см рис. 0.1) Rx вх, Фф/Ф* и рх—Рф , если 5Я= 5 Ф==0,6 м2, Р*=1,2 кг/м3, Wx=
1=100 м/с, №ф=400 м/с. Как подсчитать ускоряющую газ силу? Ответ, рх-—рф= 3,6- 104 Па.