2.4.3. Методы определения планов контроля

Прежде чем занести параметры плана контроля в технологическую документацию, необходимо провести определенные расчеты, исходя из задаваемых требований к процедуре контроля. Рассмотрим случай, когда задано требование к вероятности приемки неприемлемой партии продукции: L(q₁)  , где  – максимально допустимое значение риска потребителя, q₁ – браковочный уровень дефектности, а L(q₁) – значение риска потребителя (см. п. 2.2.3). Пусть контроль – одноступенчатый по альтернативному признаку. Тогда вероятность приемки партии продукции (оперативная характеристика плана контроля) [15–18, 36–38]: L(q) = где P(d; n, q) – вероятность того, что в выборке объема n, извлеченной из партии объема N, содержащей D = qN дефектных изделий, будет обнаружено ровно d дефектных изделий. Вероятность P(d; n, q), строго говоря, определяется на основе формулы гипергеометрического распределения [6, 7, 29]. При n  0,1N применимо биномиальное распределение, а если ещё и q  0,1, то – распределение Пуассона. Эта вероятность зависит от плана контроля, в основном от объема выборки n и контрольного норматива с.

Затраты на контроль, которые зависят от объема выборки, обычно несет поставщик. А он не заинтересован в их увеличении. Значит, план контроля должен быть таким, чтобы выполнялось примерное равенство (при соблюдении требования к качеству): L(q₁, n, c)  . Но это уравнение (относительно n и c) имеет множество решений. В зависимости от выбора значений n и c будет иметь место разное соотношение между затратами на контроль и средним ущербом от принятия решений о браковке и приемке партии. Поставщику желательно выбрать такой план контроля, чтобы сумма всех его средних экономических затрат (потерь) была минимальной. Такая задача вполне разрешима, однако, ввиду малых затрат на контроль по сравнению с ущербом от принятия решений, на практике обычно применяют следующие подходы.

1) Принимают с = 0. Тогда объем выборки n определяют из таблиц [39, 40], составленных на основе решения вышеприведенного уравнения.

2) Задают так называемый риск поставщика  и приемочный (приемлемый) уровень качества (дефектности) q_0.. В качестве q₀ выбирают ожидаемый уровень дефектности,  – вероятность браковки партии с приёмочным уровнем качества, т.е. партии, имеющей долю дефектных изделий q = q₀. Риск забраковать партию с таким уровнем дефектности должен быть невелик. Обычно выбирают  = 0,1 или  = 0,05. Тогда план контроля (n, c) однозначно определяется из таблиц, составленных на основе решения системы двух трансцендентных уравнений с двумя неизвестными:

Для двухступенчатого плана контроля по альтернативному признаку также составлены различные таблицы планов контроля, которые отвечают, обычно, критерию минимума среднего объема выборки.

Задание требования к вероятности браковки партии, имеющей приемочный уровень дефектности (т.е. в виде пары значений , q₀), без установления требования к риску потребителя или среднему выходному уровню дефектности, нежелательно для потребителя, если обнаружение дефектных изделий у потребителя сильно затруднено. Это может привести к использованию поставщиком таких планов контроля, при которых к потребителю будет проникать повышенный процент дефектных изделий. И если даже предусмотреть выплату поставщиком штрафа за каждое пропущенное дефектное изделие, величина этого штрафа может не компенсировать величину ущерба от пропуска брака, да и ущерб может быть не экономическим (в частности, пропуск брака может привести к человеческим жертвам).

При использовании планов контроля по количественному признаку х, в случае, когда его дисперсия ² от партии к партии не меняется, оперативной характеристикой является функция L(а), где а – математическое ожидание случайной величины Х среди изделий одной партии. В случае двустороннего допуска L(а) = где – плотность вероятности случайной величины , представляющей собой среднее арифметическое значение параметра Х в выборке. Браковочных уровней качества должно быть два: а_1н и а_1в, причем должно выполняться условие: х_н  а_1н  с₁  с₂  а_1в  х_в. Требования к качеству должны быть заданы в виде: L(а_1н)  , L(а_1в)  . Существует связь между браковочными уровнями качества а_1н и а_1в и браковочным уровнем дефектности q₁. В частности, при х_в – а_1н  3 и а_1в – х_н  3 можно считать, что они связаны соотношениями:

q₁ = ; q₁ =

Если Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а и дисперсией ², то случайная величина также распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией ²/n, функция L(а) имеет максимум в середине поля допуска, а интервалы [c₁, c₂], [а_1н , а_1в] симметричны относительно этой середины.

В случае одностороннего допуска оперативная характеристика L(а) является либо убывающей функцией (при с₁ = –), либо возрастающей (при с₂ = ).

План контроля может быть выбран на основе дополнительного задания риска поставщика  и приемочного уровня качества а₀. Для нормального распределения и правостороннего допуска (при с₁ = –, с₂ = с), например, когда Х – процентное содержание нежелательных примесей в единице продукции, на рис. 3 дана интерпретация основных понятий.

Рис. 3. Кривые плотностей вероятности средних арифметических значений и риски поставщика и потребителя (площади под кривыми)

■