4.1.2. Методика расчета осей и валов на прочность, жесткость,

выносливость и колебания

Основное требование к конструкции валов и осей – равнопрочность. Основными критериями работоспособности валов являются прочность, жесткость и антирезонансные свойства. В общем случае внешними нагрузками на валы являются: вращающий момент Т, окружные , радиальные и осевые силы, под действием которых в сечениях вала возникают внутренние силовые факторы: крутящий и изгибающие и моменты, поперечные и и осевые силы. Влияние осевых сил (растягивающих или сжимающих) незначительно и, как правило, в расчетах не учитывается. Основными расчетными силовыми факторами для валов являются изгибающие М_и и крутящие М_z моменты. Расчеты на прочность и жесткость производятся по методике и формулам сопротивления материалов. При этом вал (ось) рассматривают как балку, шарнирно закрепленную в двух опорах (подшипниках). Нагрузки от зубчатых колес, шкивов, звездочек и других деталей передаются на валы через поверхности контакта. В расчетах эти нагрузки заменяют силами, приложенными в середине ступицы.

Оси рассчитывают на изгиб, а валы на изгиб и кручение. Расчет осей является частным случаем расчета валов при Т=М=0. Проектирование валов включает три этапа: предварительное определение диаметра вала, т.е. проектировочный расчет; разработку конструкции со всеми размерами; проверочные расчеты выбранной конструкции на статическую и усталостную прочность, жесткость и колебания.

Проектировочный расчет вала на предварительном этапе при отсутствии данных об изгибающих моментах заключается в определении диаметра из условия прочности при чистом кручении по заниженным значениям допускаемых напряжений при кручении

d = , (4.1)

где Т = М_z - вращающий (крутящий) момент в расчетном сечении вала, Н·мм;

[τ_к ] = 12…25 МПа – допускаемое напряжение на кручение (Н/мм²).

Если известна мощность Р, передаваемая валом, то вращающий момент Т = 30Р/(πn), где Р в Вт, n – частота вращения вала в мин^-1 (об/мин), Т в Н·м. После оценки диаметра вала разрабатывают его конструкцию (рис. 4.2 б).

Проверочный расчет вала на статическую прочность учитывает одновременное действие изгиба и кручения. Для этого составляется расчетная схема (рис. 4.4), строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов, определяется опасное сечение и для него производится проверочный расчет по формуле

σ_экв = , (4.2)

где М_экв = - эквивалентный момент;

М_и = - суммарный изгибающий момент;

М_х, М_у - изгибающие моменты относительно осей х и у, т.е. в вертикальной (у0z) и горизонтальной (х0z) плоскостях опасного сечения вала;

М_z = Т – крутящий момент;

[σ_и ] = σ_т /s – допускаемое изгибное напряжение;

s = 1,2 …1,8 – рекомендуемый коэффициент запаса прочности.

На рис. 4.4 приведена простейшая расчетная схема нагружения вала окружной , радиальной силами и вращающим моментом Т, что характерно для зацепления зубчатых прямозубых цилиндрических колес, укрепленных на валах.

Рис. 4.4

Проверочный расчет вала на усталостную прочность (выносливость).

Этот расчет учитывает основные факторы, влияющие на усталостную прочность: характер напряжений (цикл напряжений), наличие концентраторов напряжений (шпонок, галтелей, буртиков и др.), размеры вала, обработку поверхностей и прочностные характеристики материала. Расчет производится по коэффициентам запаса прочности для опасного сечения вала с учетом нормальных σ и касательных напряжений τ и часто является основным проверочным расчетом на прочность. Принимают, что напряжения изгиба изменяются по симметричному циклу, а напряжения от кручения – по отнулевому (пульсирующему) циклу. Условие прочностной надежности в этом случае записывается в виде:

S = (4.3)

т.е. действительный (расчетный) коэффициент запаса прочности должен быть не ниже допускаемого [S] = 1,5 …2,5. В формуле (4.3) S_σ и S_τ – коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям, определяемые по формулам:

S_σ = S_τ = ; (4.4)

Здесь σ_-1, τ_-1 – пределы выносливости стали при симметричном цикле изгиба и кручения, которые определяются по таблицам или приближенно по формулам σ_-1 ≈ (0,4…0,5) σ_В ; τ_-1 ≈ (0,2…0,3) σ_В ; к_σ, к_τ – эффективные коэффициенты концентрации нормальных и касательных напряжений; β – коэффициент, учитывающий шероховатость поверхности; ε_σ , ε_τ - масштабные коэффициенты (зависят от диаметра и материала); ψ_σ и ψ_τ – коэффициенты чувствительности материала к асимметрии цикла напряжений (для сталей ψ_σ = 0,2…0,3, ψ_τ = 0,1); σ_а – амплитуда цикла нормальных напряжений, равная наибольшему напряжению изгиба; σ_а = М_и /(0,1d³); σ_т - среднее напряжение цикла (при F_a = 0 для симметричного цикла σ_т = 0); τ_а и τ_т – амплитудное и среднее касательное напряжение цикла, τ_а = τ_т = Т/(0,4d³). Значения указанных коэффициентов выбираются, как правило, по таблицам справочников.

Большие перемещения сечений валов от изгиба оказывают неблагоприятное влияние на работу связанных с ним соединений (шлицевых, прессовых и др.), подшипников, зубчатых колес и других деталей и могут привести к выходу из строя конструкции вследствие заклинивания подшипников (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Проверочный расчет вала на жесткость. Жесткость валов характеризуется: θ_max – максимальным углом наклона упругой линии в опорах;

y_max =f – максимальным прогибом и φ_max – максимальным углом закручивания, значения которых определяются для каждой расчетной схемы по формулам сопротивления материалов.

Условия жесткости:

θ_max ≤ [θ] ; y_max ≤ [y]; φ_max ≤ [φ]. (4.5)

Допускаемые значения [θ] ; [y] и [φ] приводятся в соответствующих справочниках с учетом конструкции вала и особенностей его работы.

Например: для подшипников скольжения [θ] = 0,001 рад; для шариковых однорядных радиальных подшипников [θ] = 0,005 рад; для зубчатых передач стрела прогиба под колесом [y] ≈ 0,01 т, где т – модуль зацепления; допускаемые углы закручивания валов [φ] в пределах 0,2…1⁰ на 1 м длины вала.

Расчет на колебания. Антирезонансные свойства валов характеризуются отсутствием резонанса на установившемся режиме работы. Поэтому расчет на колебания сводится к определению критической угловой скорости вращения ω_кр или критических оборотов вала n_кр , при которых возникает резонанс. Резонанс наступает при совпадении или краткости частоты возмущающих сил и частоты собственных колебаний вала или оси. В этом случае резко возрастает амплитуда колебаний вала или оси и может достигнуть такого значения, при котором вал или ось разрушится.

Основной причиной колебания валов и осей является неуравновешенность установленных на них деталей, в результате чего возникают инерционные силы, которые уводят вращающиеся на валу детали от оси вращения.

Различают поперечные (изгибные) колебания, которые изучаются в курсе детали машин, и угловые (крутильные) колебания валов и осей, которые рассматриваются в специальных курсах.

Расчет валов и осей на поперечные колебания заключается в проверке условия отсутствия резонанса при установившемся режиме работы.

Рассмотрим вал с зубчатым колесом (ротор) массой т (рис. 4.6), центр массы которого смещен относительно геометрической оси вращения на величину е (эксцентриситет). В этом случае центр масс зубчатого колеса будет вращаться по окружности радиуса R = y + e, где у – прогиб вала.

Рис. 4.6

На установившемся режиме центробежная сила, действующая на вал без учета его массы, уравновешивается силой упругости, т.е.

или тω²(у + е) = Су, (4.6)

где С = - коэффициент жесткости вала, характеризующий силу, под действием которой статический прогиб вала у_ст равен единице.

Из (4.6)

у = т ω²е/(С – тω²)… (4.7)

При у → ∞, когда должно произойти разрушение вала, будет критическая угловая скорость С – тω²_кр = 0, откуда

ω_кр = . (4.8)

Т ак как ω_кр = (πn_кр )/30, то n_кр = (30ω_кр)/π = 30/π √g/у_ст . (4.9)

Полагая g ≈ 9800 мм/с², приближенно критические обороты вала определяются по формуле:

n_кр ≈ 950 , (4.10)

где n_кр в об/мин (мин^-1); у_ст в мм.

Таким образом, определив статический прогиб вала у_ст экспериментально или рассчитав его по соответствующей формуле сопротивления материалов, по формуле (4.10) определяются критические обороты вала. Для принятой расчетной схемы (рис. 4.6)

у_ст = - .

Подставляя С = т ω²_кр в (4.7) , получим

у = . (4.11)

Рис. 4.7

Из (4.11) следует, что с увеличением угловой скорости ω (ω<ω_кр) прогибы вала увеличиваются (рис. 4.7) и при ω = ω_кр, возрастают неограниченно. При дальнейшем увеличении ω (закритический режим, ω>ω_кр) у → - е, т.е. центр масс колеса, стремится совпасть с осью вращения вала.

Таким образом, для отсутствия резонанса угловая скорость (обороты) вала при установившемся режиме должна быть меньше или больше критической скорости. Большинство валов и осей работают в докритической области при ω ≈ 0,7 ω_кр (n ≤ 0,7 n_кр). Такие валы называются жесткими. Валы, работающие в закритической области ω > ω_кр, называются гибкими. Во избежание поломок гибкие валы должны проходить область резонанса достаточно быстро. Для гибких валов ω≥ 1,3ω_кр ( n ≥ 1,3n_кр).