2.4.2. Силовой расчет механизмов

Целью силового расчета является определение реакций связи в кинематических парах и движущих сил.

Исходными данными для силового расчета являются: размеры ℓ_ί , масса m_ί, моменты инерции I_ί и положения центров масс S_ί звеньев; закон движения ведущего звена (например, ω_ί = const); положение механизма; внешние силы и точки их приложения (например, сила полезного сопротивления F₃, действующая на ползун). Из кинематического расчета известны также линейные скорости и ускорения характерных точек υ_ί и а_ί и центров масс υ_Sί и а_Sί ; угловые скорости и ускорения звеньев ω_ί и ε_ί и их направления.

Силовой расчет механизма проводится после кинематического анализа, представляет собой решение первой задачи динамики механизма и производится в следующей последовательности:

1) реальный механизм заменяют его структурно-кинематической моделью (схемой);

2) указывают внешние силы, действующие на механизм;

3) вычисляют силы и моменты инерции звеньев механизма и указывают их на схеме;

4) расчленяют механизм на структурные группы Ассура и группу начальных звеньев;

5) производят силовой расчет по структурным группам, начиная с группы наиболее удаленной от первичного механизма, и заканчивают расчет первичным механизмом.

Силовой расчет графоаналитическим методом рассмотрим на примере кривошипно-ползунного механизма.

1. Структурно-кинематическая схема механизма в масштабе приведена на рис.2.12, а.

2. К механизму приложены внешние силы:

движущая сила F_д, приложенная к кривошипу (звену 1) в точке А;

сила полезного сопротивления F_3, приложенная к выходному звену 3_;

силы тяжести звеньев 1, 2, 3; G₁ = m₁g; G₂ = m₂g ; G₃ = m₃g;

реакции связей в кинематических парах (R₁₄, R₄₁, R₁₂, R₂₁, R₂₃, R₃₂, R₃₄, R_43).

3. Силы инерции рассчитывают следующим образом. Звено 1 совершает вращательное движение. Его инерционность характеризуется силой инерции F₁^и = - m₁a_C1 и моментом М₀^и = - J₀ ε₁. При ω₁=const М₀^и = 0.

Здесь J₀ – момент инерции звена 1 относительно центра 0, ε₁ – угловое ускорение звена. Звено 2 совершает плоскопараллельное движение. Его инерционность характеризуется силой инерции F₂^и = - m₂ a_C2 и моментом инерции М_С2 = - I_С2 ε_2. Звено 3 совершает поступательное движение, а его инерционность характеризуется силой инерции F₃^и = - m₃ a_C3. Направление сил и моментов сил инерции звеньев указывается на схеме.

Рис. 2.12

4. Расчленим механизм на структурную группу Ассура 2-3 и группу начальных звеньев 1-4.

5. Силовой расчет начнем со структурной группы 2-3.

Чтобы данная группа звеньев была в равновесии, действие звена 1 на звено 2 заменяется реакцией , приложенной в точке А.

Произвольно направленные реакции раскладываются на две составляющие: вдоль звеньев и перпендикулярно им , в данном случае

(2.9)

Действие звена 4 на звено 3 (поступательная пара) заменяем реакцией R₄₃, которая перпендикулярна направляющей. Первая цифра индекса реакции показывает, со стороны какого звена она действует, вторая – на какое звено.

Записывается уравнение равновесия группы в векторной форме

. (2.10)

В этом уравнении неизвестны величины трех сил: и . Значение можно определить из уравнения равновесия звена 2, записав сумму моментов всех сил относительно точки В, т.е.

, (2.11)

откуда

.

Длины отрезков (плеч) h_ί находятся из плана группы с учетом масштабного коэффициента К_ℓ . Положительное значение показывает, что направление вектора выбрано правильно.

Таким образом, в уравнении (2.10) два неизвестных и , которые находятся из плана сил. Здесь и в последующем силы, известные по величине и направлению, подчеркнуты дважды, а силы, у которых известна только линия действия – один раз. Для решения векторного уравнения (2.10) строится в масштабе К_F (Н/мм) план сил в следующем порядке (рис.2.12). Из произвольно выбранной точки "а" – полюса – последовательно откладываются в масштабе известные силы в направлении их действия, т.е. откладывают векторы сил. Например, отрезок

и т.д.

Затем через точку q проводится линия действия силы , а через точку "а" - линия действия силы , пересечение которых дает замыкающую точку k плана сил. Отрезки qk и ka плана сил представляют в масштабе силы R₄₃ и R₁₂ⁿ; R₄₃ = К_F ·qk , R₁₂ⁿ = К_F ·ka. Соединив точки k и в , получим решение уравнения (2.9) с определением величины реакции R₁₂ = К_F · kв и ее линии действия. В данном случае направление не совпадает с ранее выбранным.

Для нахождения реакции составим векторное уравнение равновесия сил звена 2

. (2.12)

Соединяя на плане сил точки d и k , получим замыкающий отрезок dk, в масштабе изображающий величину силы R₃₂ = К_F ·dk и линию ее действия.

Определение реакции звена 4 на звено 1 (шарнир 0) и движущей силы производится аналогично. Отделяется ведущее звено 1 (кривошип) с действующими на него силами: (рис.2.12, г) и рассматривается его равновесие.

Из уравнений

,

находим

.

Уравновешивающий (движущий) момент М_ур = F_д · ℓ _0A.

Векторное уравнение равновесия сил звена 1 можно записать в виде:

. (2.13)

Величина и линия действия силы реакции определяются по плану сил (рис. 2.12, д).

Выполнение силового расчета механизма любым методом (аналитическим, графоаналитическим) надо проводить многократно, для различных положений механизма, что представляет собой весьма трудоемкую работу. Применение ЭВМ позволяет уменьшить эту трудоемкость.

Силовой расчет механизмов с учетом сил трения производится так же, как и без учета трения. При силовом расчете механизма с учетом трения необходимо в уравнения кинетостатики дополнительно включить силы трения (моменты трения).

Последнее обстоятельство, как правило, значительно усложняет вычисления. Поэтому задача силового расчета механизмов решается методом последовательных приближений. Первым приближением решения задачи является силовой расчет без учета сил трения. Во втором приближении в уравнениях кинетостатики могут быть учтены наиболее существенные силы и моменты трения и т.д.

Если при силовом расчете механизма с одной степенью свободы (W=1) не требуется знать силы взаимодействия в кинематических парах , то движущую силу, приложенную к входному звену можно определять с помощью рычага Н.Е.Жуковского, который представляет повернутый на 90º план скоростей механизма с точкой опоры в полюсе Р_υ и приложенными в соответствующих точках силами, действующими на звенья. Применение рычага Н.Е.Жуковского для определения движущей (уравновешивающей) силы показано на примере кривошипно-ползунного механизма (рис.2.13, а), к звеньям которого приложены известные силы по величине и направлению силы (в точке S₁), (в точке S₂), (в точке В), момент ( к звену 2).

Рис.2.13

Неизвестную приложим к шарниру А по линии действия вектора скорости . Выбирается масштабный коэффициент К_υ , строятся план скоростей механизма из полюса Р_υ (см. рис.2.13, б) и повернутый на 90º план скоростей (например, по часовой стрелке, рис. 2.13,в). Действие момента М заменяем парой сил F₂' = F₂" = М₂/ℓ_АВ в точках А и В по направлению момента М₂. Силы и переносим на повернутый план скоростей в соответствующие точки S₁, S₂, в, a без изменения направления действия сил.

Рассматривая повернутый план скоростей с приложенными силами как жесткий рычаг, вращающийся относительно полюса Р_υ, составим уравнение равновесия моментов всех сил относительно полюса:

,

откуда

(2.14)

где h_ί – плечи соответствующих сил относительно полюса, которые можно измерять по чертежу в миллиметрах. Если величина положительная, то ее направление выбрано правильно. Определив , находим движущий (уравновешивающий) момент М_Д = F_Д ℓ_0А.