3.2.2. Основной закон зацепления
Для обеспечения нормальной работы пары зубчатых колес с постоянным передаточным отношением профили зубьев должны быть очерчены строго определенным образом.
Рассмотрим передачу вращения двумя звеньями (рис.3.4), являющимися недеформируемыми телами. Действуя друг на друга в точке С контакта, они будут вращаться в противоположные стороны с угловыми скоростями ω1 и ω2 относительно неподвижных центров О1 и О2. Установим соотношение между этими скоростями.
Окружные скорости точки С на каждом из звеньев
υС1 = ω1·О1С ; υС2 = ω2·О2С. (3.11)
Проведем в точке С контакта нормаль n – n и касательную τ – τ к профилям звеньев, из центров О1 и О2 опустим на нормаль перпендикуляры О1N1 и О2N2 и разложим скорости υС1 и υС2 на нормальные и касательные составляющие:
=
υС1
·
соsαC1
= ω1
· О1N1;
= υС2
· соsαС2
= ω2
·О2N2;
(3.12)
=
υС1
· sin
αC1
;
= υС2
· sin
αC2
, (3.13)
где αСί – угол между абсолютной скоростью точки контакта и нормалью к профилю в той же точке, численно равной углу между радиусом ОίС и перпендикуляром на нормаль ОίNί. Условие контакта (сопряжения) звеньев будет обеспечено лишь при равенстве
.
(3.14)
Если
,
то профиль одного звена должен проникнуть
в профиль другого звена, либо отстать
от него.
Рис. 3.4
Из (3.12), (3.14) следует, что
ω1/ ω2 = О2N2/О1N1. (3.15)
Соединим центры О1 и О2 прямой и точку пересечения с нормалью n – n обозначим П.
Из
рис.3.4 видно, что равенство
возможно только в одном положении, когда
точка С контакта профилей совпадает с
точкой П.
Из подобия треугольников О1N1П и О2N2П находим
ω1/ ω2 = О2П/О1П = ί12. (3.16)
Соотношение (3.16) выражает основной закон зацепления: нормаль к профилям в точке контакта делит межцентровое расстояние на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев. Отношение ω1/ ω2 = ί12 представляет передаточное отношение. Точка П пересечения нормали n – n и линии центров О1О2 является мгновенным центром относительного вращения звеньев и называется полюсом зацепления. При ί12 = const полюс зацепления П не должен менять своего положения на линии центров О1О2. Для обеспечения ί = const в процессе зацепления профили звеньев должны быть подобраны так, чтобы в любом положении профилей нормаль в точке их контакта пересекла линию центров в одной и той же точке П. Профили зубьев, зацепления которых обеспечивает ί = const называют сопряженными. Одним из таких профилей является эвольвентный. Эвольвентное зацепление предложено академиком Л. Эйлером и благодаря высокой технологичности находит наибольшее распространение. В этом случае профиль зуба в торцевой плоскости, перпендикулярной оси, очерчен по эвольвенте окружности. Эвольвентой или разверткой окружности называется плоская кривая М0А (рис.3.5), которая описывается любой точкой прямой NN при перекатывании ее по окружности без скольжения. Линию NN называют производящей прямой, а окружность радиуса rВ по которой она перекатывается, - эволютой или основной окружностью.
Радиус rВ основной окружности является единственным параметром, определяющим эвольвенты. С увеличением rВ эвольвента становится более пологой, а при rВ → ∞ обращается в прямую линию. Поэтому в реечном зацеплении профиль зуба рейки прямолинейный.
Рис.3.5