Задание 2

Основные типы математических задач в теме «Объемы многогранников»

I уровень

– задачи на вычисление объемов многогранников;

– задачи на вычисление элементов многогранников, по его объему;

– задачи на вычисление объемов подобных тел;

– комбинированные задачи (на построение многогранника и вычисление его объема);

– текстовые задачи на вычисление объемов и других размеров (длин) многогранника.

Примеры задач по теме для общеобразовательных классов

1. Основание наклонного параллелепипеда – квадрат, сторона которого 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро 4 см, а сторона основания 6 см. Найдите объем пирамиды [20].

3. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.

4. Через середину высоты пирамиду проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?

Частный прием решения задачи на вычисление объема пирамиды (задача 3):

1) изучите содержание задачи: какая пирамида дана, какие элементы пирамиды известны. Сделайте чертеж по условию задачи, обозначьте пирамиду и ее высоту. Запишите, что дано и что надо найти;

2) запишите формулу для нахождения объема пирамиды в общем виде, а затем эту формулу с использованием введенных обозначений для данной пирамиды;

3) найдите площадь основания пирамиды, используя данные;

4) найдите высоту пирамиды, используя прямоугольный треугольник;

5) вычислите объем пирамиды;

6) запишите ответ.

II уровень

Примеры задач по теме для гуманитарных классов

1. Выпуклый многогранник имеет своими гранями только четырехугольники. Сколько он имеет вершин и граней, если: а) Р = 12; б) Р = 15. Изобразить эти многогранники.

2. Постройте кабинетную проекцию данной вам правильной четырехугольной призмы. Соедините точку пересечения диагоналей верхнего основания с вершинами нижнего основания. У вас получится правильная четырехугольная пирамида, вписанная в правильную четырехугольную призму. Сравните их объемы. Вычислите угол наклона ребра пирамиды к плоскости основания, произведя минимум измерений. Выразите линейные элементы пирамиды через линейные размеры призмы. Найдите объемы пирамиды и призмы.

3. Выполните чертеж развертки поверхности правильной треугольной (четырехугольной, шестиугольной) призмы. Вычислите объем призмы, произведя необходимые измерения.

III уровень

Примеры задач по теме для математических классов

1. В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ грани АВСD и АА₁В₁В – квадраты со стороной а. Угол А₁АD = φ. Найдите объем параллелепипеда (задача 28.1., с.258, «Геометрия 10-11», авт. Александров А.Д. и др., 2005 г.).

Обобщенный прием решения задач на вычисление геометрических величин приведен в пособии [2].

Задание 3

Решение геометрической задачи с использованием общего приема решения («Объемы тел вращения») II уровень.

Задача: Площадь боковой поверхности конуса, радиус основания которого R, равна сумме площадей основания и осевого сечения. Найти объём конуса.

1) Изучение содержания задачи. Построение изображения.

Дано: конус, SO – высота, Окр. (О, ОА),

ОА=R, S_бок=S_осн+S_∆ASB.

Н

Рис. 4

айти: V – объём конуса (Рис. 4).

2) Поиск решения. Задача на вычисление, поиск решения начинаем с формулы:

V=S_осн h, S_осн=πR², V=S_осн SO.

Надо найти SO: применим алгебраический метод.

3) Решение задачи (алгебраический метод).

I. Составление модели.

Пусть SO=h, тогда S_∆ASB = AB·h = ·2R·h = Rh.

S_бок = πR·SA; Из ∆SOA по теореме Пифагора найдём SA = ,

S_бок=πR.

Зная, что S_осн + S_∆ASB = S_бок , составим уравнение: πR=πR²+R h.

II. Решение модели: πR =πR² + R h,

π² (h² + R²) = π²R² + 2πR h + h² , (π²-1) h² - 2R h=0, h₁ = 0, h₂ = .

III. Формирование ответа на вопрос задачи.

По смыслу задачи h > 0, следовательно, h = , V = .

4) Исследование: В данном случае, процесс исследования можно опустить, предполагая, что R > 0. 5) Ответ: V = ..

6) Анализ и обобщение решения задачи. Задача решена алгебраическим методом, суть которого состоит в том, что искомая величина находится с помощью уравнения (или системы уравнений), составленного по условию задачи. При составлении уравнений используются различные геометрические факты, формулы, теоремы (в данной задаче использовалась формула площади полной поверхности конуса). При решении задачи для нахождения искомой величины нашли сначала вспомогательную неизвестную величину – высоту конуса.