Справочный материал

1. Логико–математический анализ объектов и определений понятий

Логико-математический анализ структуры определения математических объектов предполагает выполнение следующих действий:

- логический анализ структуры определений разного вида;

- подведение конкретного математического объекта под определение;

- приведение конкретного примера объекта, иллюстрирующего принадлежность его данному определению;

- переформулирование определения, сравнение различных определений одного и того же объекта;

- получение следствий из факта, что объект принадлежит к классу объектов, охарактеризованных определением;

- нахождение логических и содержательных ошибок в приведенных определениях;

- классификация определяемого понятия или место нового понятия в классификации старого.

2. Этапы формирования понятий

1 этап – подготовка учащихся к восприятию определения понятия;

2 этап – работа над определением понятия;

3 этап – закрепление определения понятия.

Этап 1

Целью этапа является показ неизбежности введения нового понятия в силу стоящих перед наукой задач. С этой целью можно использовать следующие методические приемы.

Прием 1. Наблюдение, в результате которого выделяются общие и существенные признаки наблюдаемых объектов.

Например, ознакомление с понятием «трапеция» может осуществляться с помощью заранее приготовленного рисунка. Затем перед учащимися ставятся вопросы: «Найдите среди фигур, изображенных на рисунке, одну лишнюю. Ответ обоснуйте. Какие из оставшихся фигур имеют общие свойства, и какие это свойства?»

Прием 2. Опыт или практическая работа исследовательского характера, накапливающая данные для индуктивного умозаключения.

Прием 3. Поиск ярких примеров, показывающих необходимость изучения нового понятия.

Изучению равнобедренной трапеции можно предпослать выполнение упражнений на построение четырехугольника, имеющего единственной осью симметрии прямую, содержащую середины противоположных сторон.

Прием 4. Моделирование (обозначения), когда необходимые признаки отделяются от предметов и фиксируются с помощью схем, символов, слов.

Например, запись определений в виде: (термин) (род и видовые отличия).

(Фигура F – трапеция) (F – четырехугольник АВСД и АВ║СД и ВС ║АД).

Прием 5. Варьирование несущественных признаков предметов или явлений при сохранении существенных признаков, что создает основу для их обобщения.

Прием 6. Обзоры изученного или исторические обзоры, показывающие корни в старом или аналогии нового со старым.

Прием 7. Решение задач, в ходе которого появляется необходимость введения нового понятия (подводящие задачи).

Этап 2

Чтобы помочь учащимся усвоить определения, используют следующие методические приемы.

Прием 1. Выполнение упражнений на установление рода, вида и характера связей между определениями, на самостоятельную формулировку определения нового понятия, показ образцов построения определений.

Прием 2. Формулировка определения, введение термина и символа, обозначающих понятие, их мотивировка.

Прием 3. Рассмотрение частных и особых случаев, если они имеются.

Прием 4. Выполнение следующих видов упражнений на применение приема определения нового понятия:

• выделение общих и существенных свойств понятия;

• усвоение родовых и видовых признаков и связей между ними;

• варьирование существенных и несущественных свойств понятия;

• подведение под понятие;

• приведение примеров и контрпримеров (объектов, не подходящих под понятие);

• выделение следствий из определения;

• доказательство равносильности разных определений одного понятия;

• нахождение ошибок в определениях и поиск других определений нового понятия.

Прием 5. Контроль за соблюдением требований, предъявляемых к определениям, обнаружение и устранение ошибок учащихся.

Этап 3

Целью этого этапа является установление и развитие связей и отношений нового понятия с другими, способствующих усвоению всей системы понятий данной математической теории и математической дисциплины в целом. На этом этапе используют следующие методические приемы.

Прием 1. Включение нового понятия в существующую классификацию или классификация данного понятия, упражнения на классификацию и систематизацию понятий.

Прием 2. Теоретические обобщения, устанавливающие логические связи с другими понятиями с использованием обобщающих таблиц и схем, конспектов, ТСО, бесед и лекций.

Прием 3. Составление родословной понятия.

Родословная понятия «смежные углы» представлена на рис.1:

Прием 4. Выполнение упражнений на обобщение и систематизацию понятий, на «узнавание» понятий (на чертеже), на замену одного понятия другим.

Рис.1. Родословная понятия «смежные углы»

Прием 5. Решение задач на применение новых понятий.

Прием 6. Повторение на последующих уроках определения понятия.

4. Основные этапы формирования понятий. Пример выполнения задания.

Введение понятия «тождество» в курсе алгебры 7-го класса.

На первом (подготовительном) этапе введения понятия учащимся предлагается выполнить упражнение:

Вычислить числовое значение двух выражений при данных значениях переменных заполняя таблицу вида:

Таблица 11

	– 5	– 3,5	– 2,1	0	1	2,1	4,3
5 (у + 3)
5 у + 15

Эту работу можно организовать по вариантам, часть из которых содержит тождественно равные выражения, часть – нет.

1-й вариант: 5(у + 3) и 5у + 15 (для значений у);

2-й вариант: 2 (х + у) и 2х + 2у (для х и у);

3-й вариант: 2х³ и (2х)³ (для х);

4-й вариант: 2х + у и 2ху (для х и у).

После заполнения таблиц предложить учащимся ответить на вопросы:

1) Равны ли соответственные значения данных вам выражений при указанных значениях переменной?

2) Равны ли соответственные значения этих выражений при каких-либо других значениях переменных? Каких? Можно ли ответить на этот вопрос, не выполняя вычислений?

3) Можно ли утверждать, что все соответственные значения вашей пары выражений равны? Почему?

4) Почему, при отрицательном ответе на предыдущий вопрос, при некоторых значениях выражения равны?

На втором этапе (формулировки определения понятия) говорим: «Пары выражений вариантов 1 и 2 называются тождественно равными. Сформулируйте определение тождественно равных выражений».

Определения, сформулированные учащимися, при необходимости, уточняются учителем. Затем учитель формулирует определение тождества.

На третьем этапе (закрепление понятия) выполняется упражнение из учебника на подведение под понятие, на отработку письменной записи тождеств, на повторение свойств выражений, которые будут использоваться при доказательстве тождеств, на отрицание определения.