Темы для выполнения индивидуальных заданий

1. Действительные числа и методика их изучения.

2. Степенная функция и методика ее изучения.

3. Показательная функция, показательные уравнения и неравенства и методика их изучения.

4. Логарифмическая функция, логарифмические уравнения и неравенства и методика их изучения.

5. Тригонометрические функции и методика их изучения.

6. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика их изучения.

7. Производная, ее геометрический и физический смысл, методика изучения производной.

8. Применение производной к исследованию функций, методика изучения.

9. Первообразная и интеграл и методика их изучения.

10. Аксиомы стереометрии, их простейшие следствия и методика изучения.

11. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве; параллельная проекция и ее свойства; изображение пространственных фигур на плоскости и методика их изучения.

12. Перпендикулярность прямых и плоскостей.

13. Скрещивающиеся прямые в пространстве; расстояние между скрещивающимися прямыми; ортогональное проектирование и методика их изучения.

14. Декартовы координаты в пространстве, метод координат и методика их изучения.

15. Векторы в пространстве, векторный метод и методика их изучения.

16. Многогранники (призмы) и методика их изучения.

17. Многогранники (пирамиды) и методика их изучения.

18. Тела вращения (цилиндр, конус и шар) и методика их изучения.

Замечание. Семинарские и семинарско-практические занятия состоят в выполнении и обсуждении общих и индивидуальныхзаданий.

Указания к выполнению учебных заданий

Все задания (общие, групповые и индивидуальные) выполняются на примере конкретной темы, предложенной преподавателем. Для выполнения всех видов заданий рекомендуется использовать основную и дополнительную литературу, а также статьи из журнала «Математика в школе» и газеты «Математика». Список литературы (основная и дополнительная) приведен в конце пособия.

В 8 семестре акцент выполнения учебных заданий смещается с выполнения групповых на выполнение индивидуальных заданий.

Общие и индивидуальные задания студенты выполняют в письменном виде, самостоятельно выбирая уровень выполнения заданий:

I уровень – минимальный: понял, запомнил, воспроизвел, решил одношаговую задачу (математическую, методическую);

II уровень – обязательной подготовки: усвоил информацию на I уровне и применил ее в типичной (стандартной) ситуации;

III уровень – уровень возможностей: усвоил информацию на II уровне и перенес ее в нестандартную ситуацию.

В течение семестра каждым студентом должны быть выполнены все виды общих заданий (на материале всех тем курса алгебры и начал анализа) и все виды индивидуальных заданий (на примере одной темы).

Примеры выполнения общих заданий Задание 1

Логико-математический анализ темы

«Декартовы координаты и векторы в пространстве»

(по учебнику «Геометрия 10–11», авт. Погорелов А.В., 2006 г.).

I уровень

Основные понятия:

– координатные оси – Ох, Оу, Оz; начало координат – точка О;

– координатные плоскости – хОу, хОz, уОz;

– координаты точки – числа, равные по абсолютной величине длине отрезка от точки до соответствующей координатной плоскости, обозначение А (х, у, z);

– вектор – направленный отрезок;

– абсолютная величина вектора – длина отрезка;

– направление вектора; одинаково направленные векторы, противоположно направленные;

– равные векторы – одинаково направлены и равны по абсолютной величине, или имеют равные координаты;

– сумма векторов;

– произведение векторы на число;

– скалярное произведение векторов.

Способы определения вводимых понятий явные, с указанием характеристического свойства и конструктивные, используется аналогия.

Например, определение равных векторов:

Термин – равные векторы.

Род – векторы.

Видовые отличия: 1) векторы одинаково направлены; и 2) абсолютные величины (длины) векторов равны,

Все свойства соединены союзом «и», определение конъюнктивное.

Основные предложения темы:

– формулы расстояния между точками в пространстве:

А₁ (х_1, у_1, z₁), А₂ (х_2, у_2, z₂), А₁ А₂ ² = (х₂ – х₁)² ₊ (у₁ – у₂)² + (z₁ – z₂)² ;

– формулы координат середины отрезка:

точки А₁ (х_1, у_1, z₁), А₂ (х_2, у_2, z₂), отрезок А₁А₂, С (х, у, z) – середина отрезка;

– уравнение фигуры в пространстве; уравнение плоскости.

– свойства действий над векторами;

– формула нахождения косинуса угла между векторами.

II уровень. Виды теорем – теоремы – формулы; методы доказательства – используется прямое доказательство, алгебраический метод (тождественных преобразований), используются дополнительные построения. Ранее изученный материал представлен в табл. 4. (блок А).

III уровень. Результаты логико-математического анализа темы представлены в табл.12.

Таблица 12

Логико-математический анализ темы

«Декартовы координаты в пространстве»

А Ранее изученный материал, необходимый для изучения темы	В Теоретический материал темы	С Применение изученного материала
- система координат на плоскости; - формулы расстояний между точками, координат середины отрезка; - уравнение фигуры; уравнение прямой; - метод координат на плоскости. - векторы на плоскости; - векторная алгебра; - векторный метод на плоскости. - понятие угла между прямыми и плоскостями, векторами.	Уравнение плоскости, сферы Уравнение фигуры Координаты середины отрезка Формула расстояния между точками Координаты точки Система координат Декартовы координаты в пространстве Метод координат Векторы в пространстве Действия над векторами в координатах Векторный метод	- решение задач в курсе геометрии, алгебры и начал анализа; - применение в курсе физики; - при изучении темы «Тела вращения»; - при изучении темы «Многогранники».

Основные идеи и методы изучения: дедуктивное изучение темы, метод аналогии.

Например, теорема о том, что скалярное произведение двух векторов в пространстве равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, доказывается, как и на плоскости с помощью векторных преобразований (аналогично).