Тема 8. Математические предложения и методика их изучения. Методика работы над теоремой

Цель занятия: студент

знает и понимает

- элементы математической логики;

- виды суждений (аксиома, теорема);

- строение математических предложений, простейшие правила следования;

- виды умозаключений (дедуктивное, индуктивное, аналогия);

- доказательства, строение доказательств, методы доказательства теорем;

- общий прием выполнения логико-математического анализа теоремы;

умеет

- выполнять логико-математический анализ утверждений и правил;

- организовать самостоятельную работу по анализу теорем школьного курса математики;

- раскрыть этапы изучения теорем (методика обучения доказательству теорем);

- оформлять доказательство математического утверждения.

Методическое обеспечение занятия:

1. Учебники математики для 5-9 классов.

2. Наглядные пособия различных видов.

Вопросы для обсуждения

1. Виды суждений (аксиома, теорема). Строение математических предложений, простейшие правила следования.

2. Виды умозаключений (дедуктивное, индуктивное, аналогия).

3. Структура и виды теорем, их форма, краткая запись теоремы.

4. Основные этапы работы над теоремой, пример.

5. Что значит «доказать теорему»? Строение доказательств. Различные методы доказательства теорем. Метод математической индукции.

6. Основные этапы работы над доказательством теорем, пример.

7. Методика работы над теоремой.

Общее задание

На примере теоремы Виета:

1. Опишите приём мотивации изучения теоремы и раскрытие ее содержания (усмотрение геометрического факта и формулировка теоремы).

2. Опишите приём мотивации необходимости доказательства теоремы.

3. Докажите теорему различными способами и оформите запись доказательства.

4. Покажите практическое применение теоремы.

Индивидуальное задание

Опишите методику изучения теоремы (из ниже приведенного списка) по этапам:

1. мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания (усмотрение геометрического факта и формулировка теоремы);

2. работа над структурой теоремы;

3. мотивация необходимости доказательства теоремы;

4. построение чертежа и краткая запись содержания теоремы;

5. поиск доказательства, доказательство и его запись;

6. закрепление теоремы;

7. применение теоремы.

Пример теорем: первый признак равенства треугольников; второй признак равенства треугольников; третий признак равенства треугольников; признаки параллельности прямых на плоскости; теорема о сумме углов треугольника; теорема о внешнем угле треугольника; теорема о серединном перпендикуляре к отрезку; признаки параллелограмма; свойство диагоналей ромба; признаки подобия треугольников; теорема Пифагора.

Справочный материал

1. Суждением называется такая форма мышления, которая устанавливает связи между понятиями и, тем самым, между объектами, охватываемыми этими понятиями. Если суждение правильно отображает эти объективно существующие зависимости между вещами, то оно называется истинным, в противном случае – ложным. Суждение имеет свою языковую оболочку – предложение, но не всякое предложение является суждением; характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

Виды суждений: а) общие (обо всех элементах некоторого множества объектов), б) частные (о некоторых из них), в) единичные (об одном из них). Суждения можно разделить еще на утвердительные и отрицательные; комбинируя эти два деления, получают общеутвердительные, частноотрицательные и т. д. суждения. Каждое из них оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах конкретной науки.

2. Математическое предложение – логическое предложение, выражающее суждение о математических объектах. Множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур, образует математическую теорию. Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками: а) предложение записано (или сформулировано) на языке данной теории, состоит из математических и логических (принадлежащих языку теории) терминов или символов; б) предложение истинно, то есть является исходным истинным предложением данной теории, или его истинность устанавливается доказательством. Основные виды математических суждений: аксиома, теорема.

Аксиома (от греческого слова, означающего «то, что приемлемо») – предложение, принимаемое без доказательства (его истинность допускается). Аксиомы конкретной математической теории образуют систему, описывающую свойства основных понятий данной теории и лежащих в основе доказательств других предложений.

Теорема (от греческого слова, означающего «рассматриваю, обдумываю») – предложение, истинность которого установлена с помощью доказательства. С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации. Каждая теорема содержит в себе условие (то, что известно о рассматриваемых в ней объектах) и заключение (то, что об объекте утверждается и требует доказательства). Однако не все теоремы имеют такую «условную» форму, в которой четко разграничены условие и заключение. Формулировку теоремы, не использующую слов «если…, то…», называют категорической. Например, «сумма смежных углов равна 180⁰».

В школьном курсе математики встречаются теоремы-тождества и теоремы-формулы (выраженные языком математических символов), теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Среди теорем, представимых в виде импликации, выделяют такие частные виды, как следствие (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинны прямое и обратное утверждения, форма – эквиваленция).