Исходные данные и промежуточные результаты

S	X	t		r	z		F(z)
100	102	0,75	0,2	15%	0,6218	0,4486	0,7330	0,6731

Используя данные, приведенные в табл. 18.1, можно определить стоимость опциона на покупку акций на данных условиях в следующем виде:

руб.

В данном случае мы использовали исходный вариант формулы Блэка–Шоулза, который не учитывает возможность выплаты дивидендов по акциям в течение периода исполнения опциона на акцию.

Если предположить, что объем выплачиваемых дивидендов составляет 10%, и воспользоваться формулой (18.2) для определения стоимости опциона на покупку акции, то следует учесть, что происходит изменение величины параметра z, который в данном случае определяется так:

Изменятся так же параметры функции распределения. Эти данные приведены в табл. 18.2.

Таблица 18.2

Исходные данные и промежуточные результаты

S	X	t		r	z		F(z)
100	102	0,75	0,2	15%	0,2754	0,4486	0,6085	0,5407

Используя данные, приведенные в табл. 18.2, можно определить стоимость опциона на покупку акций на данных условиях в следующем виде:

руб.

Аналогичным образом можно определить стоимость опциона на продажу акции, используя формулу (17.2).

Контрольное задание___________________________________

1. Поясните основные предположения формулы Блэка–Шоулза.

2. В чем отличия формулы Блэка–Шоулза для оценки стоимости опциона на акцию с учетом без учета выплат дивидендов?

3. Что понимается под дельта хеджированием портфеля опционов?

4. Определите стоимость опциона на акцию сроком исполнения через полгода, если текущая стоимость акции равна 150 руб., цена исполнения составляет 170 руб., риск в форме стандартного отклонения 20%, ставка безрискового процента – 18%. Дивиденды не выплачиваются.

Использование формулы Блэка–Шоулза для оценки стоимости реальных опционов на расширение бизнеса

Представленные в данном разделе методы оценки стоимости опциона с непрерывным изменением цены базового актива могут быть использованы при оценке иных видов рисковых инвестиций. Эти методы так же, как и методы, основанные на использовании эквивалентных портфелей, могут быть положены в основу оценки стоимости рискового капитала, применяемого по различным направлениям. Кроме того, рассматриваемый в данном Блоке подход можно использовать при оценке стоимости реальных опционов, о которых речь шла в Блоке 9. Проанализируем пример возможности использования формулы Блэка–Шоулза для оценки настоящей стоимости планируемой в будущем рисковой инвестиции. Эту стоимость можно интерпретировать как предельную цену реального опциона на расширение бизнеса.

Пример 2. Будем считать, что новый проект можно начать через три года. Инвестиционные расходы составляют 1200 тыс. руб.; а ожидаемая настоящая стоимость будущих доходов по этому проекту принимается равной 1406,27 тыс. руб.; ставка процента составляет 16%; риск настоящей стоимости будущих доходов по проекту в форме стандартного отклонения – 20%.

Откладывание осуществления проекта на три года может потребовать дополнительных расходов, связанных с закреплением прав на осуществление проекта, например, в форме покупки участка земли заранее, как это было рассмотрено в предыдущем примере, или проведением дополнительных маркетинговых исследований, или развитием имеющихся производственных мощностей, позволяющих через три года начать исполнение нового проекта и т.п.

Оценим предельную стоимость таких расходов, как предельную цену реального опциона на развитие бизнеса с помощью исполнения указанного проекта. Существенное отличие от реальных опционов, рассмотренных в Блоке 9, состоит в том, что в данном случае речь идет не о заключении какого-либо условного срочного контракта, а только об определении предельной стоимости расходов по сохранению возможности исполнения проекта на основе подхода, используемого при определении стоимости опционов.⁸

Тогда рассмотрим возможность начала реализации нового проекта в будущем периоде как специфический реальный опцион, который будет исполняться, если ожидаемая настоящая стоимость будущих доходов будет больше, чем объем инвестиционных расходов, и не будет исполняться в противоположном случае. По приведенным данным очевидно, что в будущем периоде (через три года) ожидаемая настоящая стоимость проекта больше суммы инвестиционных расходов. Тогда в качестве условной цены исполнения рассматриваемого опциона примем сумму инвестиционных расходов, а в качестве текущей цены базового актива, который представляет собой фактически будущий инвестиционный проект, рассмотрим ожидаемую настоящую стоимость будущих доходов по этому проекту. По условиям формулы Блэка–Шоулза необходимо иметь текущую цену базового актива на момент оценки стоимости опциона. Указанная выше настоящая стоимость будущих доходов дана в оценке на конец третьего года. Тогда ее необходимо пересчитать на конец нулевого года. Воспользуемся коэффициентом дисконтирования, определяемым с учетом ставки процента равной 16% и получим:

тыс. руб.

Эту величину будем рассматривать в качестве текущей цены базового актива – будущего инвестиционного проекта.

Запишем полученные исходные данные в соответствии с обозначениями, используемыми при записи формулы Блэка–Шоулза (см. табл. 18.3). Определим величину z, которая в условиях данного примера принимает значение:

и, соответственно,

.

На основе полученных значений определены значения функции нормального распределения (табл. 18.3).

Таблица 18.3