Аналитический подход к анализу чувствительности
Основная идея аналитического подхода к анализу чувствительности состоит в сопоставлении прироста значений чистой настоящей стоимости к соответствующему приросту численного значения параметра денежного потока. Конкретные методики могут базироваться на вычислении как частных производных, так и их разностных аналогов.
Частная производная чистой настоящей стоимости по ставке процента определяется по формуле:
.
(6.2)
Эта производная отрицательна, следовательно, при увеличении ставки процента чистая настоящая стоимость уменьшается, и наоборот. Размер изменения будет зависеть от значения полученного выражения. При небольшом изменении ставки процента изменение NPV будет примерно пропорционально значению производной. Поэтому если численное значение производной невелико, то можно говорить о достаточно высокой устойчивости (т.е. низкой чувствительности) изменения инвестиционного проекта и изменения ставки процента.
Для большинства практических ситуаций частная производная (6.2) будет достаточно велика. Кроме того, этот показатель имеет существенный недостаток: его численные значения зависят от единиц измерения. Другими словами, если в качестве единиц измерения денежных сумм вместо рублей в год использовать тысячи рублей в год, то значение частной производной уменьшится в 1000 раз, что может повлиять на решение о том, насколько она мала. Поэтому следует использовать другой показатель, не имеющий таких недостатков.
Таким показателем, используемым для оценки относительного изменения, является коэффициент эластичности чистой настоящей стоимости по ставке процента
(6.3)
который можно интерпретировать как меру риска изменения ставки процента (см. Блок 4). Он показывает, на сколько процентов изменится чистая настоящая стоимость при изменении ставки процента на 1%. Его численные значения не зависят от единиц измерения.
С учетом того, что частная производная чистой настоящей стоимости по ставке процента меняется медленно, в практических расчетах следует ожидать резкого увеличения эластичности по мере уменьшения значения чистой настоящей стоимости по абсолютному значению. Это можно объяснить тем, что риск получения недостаточного дохода по долгосрочному инвестиционному проекту резко увеличивается, если ожидаемое значение чистой настоящей стоимости невелико. Для практически значимых величин ставок процента коэффициент эластичности по ставке процента, как правило, будет больше единицы, что также свидетельствует о неустойчивости инвестиционных проектов при колебаниях ставок процента.
Аналогично можно рассмотреть влияние изменения компоненты денежного потока Zt на значение его чистой настоящей стоимости. Так как
,
(6.4)
то
эта производная положительна,
следовательно, изменения происходят в
одном направлении. Размер изменения
чистой настоящей стоимости будет равен
соответствующему коэффициенту
дисконтирования
.
Хотя эта величина меньше единицы, такое
изменение приходится на каждую единицу
(доллар, рубль и т.д.) изменения компонента
денежного потока, так что совокупное
изменение может быть существенным.
Можно также рассчитать эластичность чистой настоящей стоимости денежного потока по его компоненте:
.
(6.5)
Этот показатель также будет довольно большим (по абсолютному значению), если показатель чистой настоящей стоимости будет достаточно близок к нулю.
Использование частных производных и коэффициентов эластичности для анализа чувствительности имеет то преимущество, что, зная исходную формулу, можно легко найти аналитическое выражение зависимости изменения значения чистой настоящей стоимости от изменения параметра денежного потока. Однако этот метод имеет ряд недостатков:
он позволяет анализировать лишь достаточно малые изменения параметров денежного потока, тогда как на практике возможны весьма существенные изменения;
он дает возможность исследовать влияние изменения только одного параметра (по определению частной производной значения остальных переменных считаются неизменными).
Поэтому альтернативная методика состоит в рассмотрении разностных аналогов производных с произвольными изменениями параметров денежного потока. Преимуществами такого подхода является возможность исследования любых изменений параметров денежного потока и изучения одновременного влияния нескольких параметров.
Рассмотрим
две реализации проекта с разными
коэффициентами дисконтирования и
различными компонентами денежного
потока. Следует заметить, что такая
постановка дает, в частности, возможность
анализировать чистые настоящие стоимости
с переменной ставкой процента, что может
быть важно для учета инфляции, премии
за риск и т.д. Пусть первый вариант
реализуется со ставкой процента i
и с компонентами денежного потока
,
а второй – с
и
соответственно. Тогда чистые настоящие
стоимости проекта этих реализаций
инвестиционного проекта будут
соответственно
и
.
Изменение чистой настоящей стоимости
будет характеризовать устойчивость проекта при изменении компонентов денежного потока и ставок процента.
При
рассмотрении изменений всех или большого
числа параметров денежного потока
формулы получаются достаточно громоздкими.
Но если процентные ставки не будут
различаться
,
а денежные потоки различаются только
одной компонентой, относящейся к
фиксированному моменту времени t
(Zt
и
соответственно), то формулу изменения
чистой настоящей стоимости можно
существенно упростить:
.
Пример 6.2. Исследуем чувствительность условного инвестиционного проекта из примера 6.1 на базе аналитического подхода.
Сначала проанализируем чувствительность данного инвестиционного проекта по ставке процента. Результаты расчетов по формулам (6.2) и (6.3) приведены в табл. 6.2.
Значения производных медленно убывают по абсолютной величине при увеличении ставки процента. Они весьма велики, т.е. при изменении ставки процента абсолютное изменение NPV будет достаточно сильным и примерно одинаковым для рассматриваемых исходных значений ставок процента. Из табл. 6.2 также видно, что значения производных не связаны с размером самого значения чистой настоящей стоимости. Это означает, что относительное изменение будет тем больше, чем меньше абсолютное значение чистой
Таблица 6.2