Формула Блэка–Шоулза
В принципе возможна ситуация, когда изменение цены базового актива опциона предполагается непрерывным. Наиболее очевидно это для акций или облигаций, цена которых меняется непрерывно даже в течение одного биржевого дня. В этом случае для определения стоимости опциона с исполнением в конце периода можно воспользоваться определенным обобщением формулы оценки стоимости опциона на покупку, которым является формула Блэка–Шоулза. Эта формула – предельный случай биномиальной формулы цены опциона на покупку базового актива, не предусматривающего промежуточных выплат. Если речь идет об опционе на акцию, то в исходном варианте в течение периода исполнения этого опциона не предполагается выплат дивидендов.
Обоснование этой формулы опирается на следующие исходные предположения:
отсутствие трансакционных издержек и налогов;
бесконечная делимость активов;
постоянное значение ставки процента;
нормальное распределение доходности базового актива;
отсутствие коротких продаж;
отсутствие дивидендов по акциям;
европейский тип опциона;
непрерывное изменение цены базового актива (акции) в соответствии с процессом Ито.5
Введем обозначения, которые обычно используются в литературе при записи этой формулы: C(t) – стоимость опциона на покупку за t периодов до его выполнения; S – текущая цена базового актива; r – безрисковая ставка доходности; X – цена исполнения опциона; – риск базового актива в форме стандартного отклонения доходности акций; F(z) – функция нормального распределения.
Учитывая указанные исходные предпосылки, можно доказать, что стоимость европейского опциона на покупку выражается следующим образом:
(18.1)
Эта формула и получила название формулы Блэка–Шоулза, по имени американских экономистов Фишера Блэка и Майрона Шоулза, впервые предложивших ее использовать для оценки стоимости опциона на продажу. В 1998 г. М. Шоулз получил за нее Нобелевскую премию по экономике. Ф. Блэк скончался в 1995 г., и по положению о Нобелевских премиях не мог получить эту премию.
Вывод этой формулы опирается на анализ дифференциальных уравнений специального вида, формируемых с учетом соответствующих предпосылок.6
Если по активу осуществляются промежуточные выплаты, например, в форме дивидендов по акциям, то рассматривается определенная модификация формулы (18.1), которая была предложена Р. Мертоном. Если обозначить постоянный дивидендный доход через d, то стоимость опциона на покупку акции, обеспечивающей получение этого дохода, имеет вид:
(18.2)
Следует только иметь в виду, что дивидендная доходность, которая предполагается постоянной в формуле (18.2), так же является случайной величиной и подвержена случайными изменениям во времени.
Учитывая формулу паритета опционов на покупку и продажу, которая имеет следующий вид:
,
(18.3)
где P(t) – цена опциона на продажу c исполнением в периоде t, можно получить формулу для стоимости опциона на продажу акции. Фактически справа приведена сумма доходов от исполнения опциона на покупку, пересчитанная на настоящий период, а слева – доходы от продажи акции по текущему курсу и продаже опциона на продажу. Тогда, если разрешить приведенное уравнение относительно P(t), учитывая формулу определения стоимости опциона на покупку (17.1), то легко получить, что формула для оценки стоимости опциона на продажу может быть представлена в следующем виде:
. (18.4)
Основные факторы, которые влияют на стоимость опционов – это период до исполнения, рыночная цена и риск базового актива. Преимущество полученных формул состоит в том, что для анализа влияния указанных факторов на стоимость опциона можно воспользоваться первыми производными. Проанализируем изменение стоимости опциона на покупку при изменении следующих параметров: времени (t), текущей цены базового актива (S), цены исполнения опциона (X), ставки процента (r) и риска базового актива ().
Для оценки влияния указанных факторов на стоимость опциона в данном случае используются производные стоимости опциона по указанным переменным и коэффициенты эластичности, для обозначения которых специально используют греческие буквы. Мы приведем лишь часть из них.
1. Коэффициент тета, который характеризует скорость изменения цены опциона во времени:
.
2. Коэффициент дельта, который показывает относительное изменение цены опциона при изменении текущего курса акций:
Можно показать, что значение дельта представляет собой коэффициент хеджирования, который показывает, какую часть от количества акций нужно купить, чтобы хеджировать опцион, заключенный на это количество акций. Этот вид хеджирования также называют дельта хеджированием.
3. Коэффициент гамма характеризует приращение коэффициента дельта при изменении текущей цены базового актива:
4. Коэффициент омега представляет собой коэффициент эластичности цены опциона по текущей цене акции:
Коэффициент омега показывает, на сколько процентов меняется цена опциона при изменении текущего курса акции на 1 процент.
5. Коэффициент лямбда характеризует относительное изменение стоимости опциона при изменении риска в форме дисперсии на единицу:
Могут быть использованы и другие подобные параметры для измерения риска опционов, например, вега, бэта, которые мы здесь не рассматриваем. Если использовать формулу (18.2), учитывающую объем дивидендов, то можно с помощью соответствующей частной производной определить влияние дивидендов на стоимость опциона.
Анализ формулы Блэка–Шоулза и указанных коэффициентов позволяет получить следующие зависимости для стоимости европейского опциона на продажу:
чем выше цена базисного актива, тем больше стоимость опциона;
чем выше цена исполнения опциона, тем меньше его стоимость;
чем выше безрисковая ставка процента, тем больше стоимость опциона;
чем больше период до исполнения опциона, тем больше его стоимость;
чем больше риск базисного актива, тем больше стоимость опциона.
Приведенные показатели выступают своеобразными мерами риска изменения стоимости опциона, в основу которых положена частная производная по соответствующему фактору. Все они используются при управлении опционами и хеджировании риска. При этом особое значение имеет стратегия управления рисками, основанная на формировании так называемых дельта нейтральных портфелей. Для подобных портфелей значение коэффициента дельта равно или близко к нулю, и изменение цены базового актива не оказывает влияние на стоимость портфеля опционов, т.е. он становится защищенным от риска изменения цены базового актива. Более высокая степень рисковости опциона существенна для его продавца, занимающего «короткую» позицию. Покупатель, занимающий «длинную» позицию, может не исполнять его при неблагоприятных условиях.
Указанные коэффициенты представляют собой определенные меры риска изменения стоимости опционов, характеризующие чувствительность изменения стоимости опциона к изменениям соответствующего фактора. Подобные меры риска используются не только при анализе стоимости опционов в условиях применения формулы Блэка–Шоулза, но и при управлении портфелем рисковых активов. Подобные методы в данной книге не рассматриваются.
Следует отметить, что биномиальная формула оценки стоимости опциона является более простой, чем формула Блэка–Шоулза, так как для оценки стоимости опциона по ней необходимо знать только темпы роста цены базового актива в каждом из двух состояний экономики за каждый период. При этом не учитываются вероятности наступления будущих состояний экономики.
Приведем пример использования формулы Блэка–Шоулза для оценки стоимости опциона.
Пример 1. Предположим, что в качестве базового актива рассматривается некоторая акция, которая имеет текущую стоимость, равную 100 руб. Цена исполнения опциона составляет 102 руб. за акцию. Период исполнения составляет 9 месяцев, т.е. 0,75 года. Ставка процента составляет 15%. Риск изменения цены акции составляет 20%. Определим вначале значение параметра z, учитывая формулу (18.1):
Полностью исходные данные и результаты расчетов промежуточных параметров приведены в табл.18.1. Значения функции нормального распределения определены с помощью встроенной функции стандартного нормального распределения в пакете «Microsoft Excel». Можно воспользоваться таблицами, которые приводятся в книгах по эконометрике.7
Таблица 18.1