Оценка параметров рассматриваемого уравнения

Обработка исходных данных может быть проведена с помощью приложений – Анализ данных (Analysis tools) в пакете Microsoft Excel – или с помощью специализированных пакетов, позволяющих производить весь комплекс эконометрических расчетов, таких как «Statgraphics», «Statistika» и другие, которые реализуют метод наименьших квадратов.

Результаты оценки параметров рассматриваемого уравнения (15.2) и значения получаемых статистических оценок существенно зависят от периода наблюдения. Чтобы пояснить это, используем в расчетах как месячные, так и квартальные наблюдения указанных выше показателей.

Ниже приведены результаты оценки параметров уравнения (15.2) для помесячных (15.3) и квартальных (15.4) наблюдений (в скобках указаны значения t-статистики, с помощью которой проверяется гипотеза о равенстве нулю соответствующего коэффициента уравнения регрессии):

(15.3)

R²_норм=0,063 F=2,161,

(15.4)

R²_норм=0,052 F=1,936.

Как видно из приведенных уравнений, доля дисперсии доходности фондового рынка, объясняемой дисперсией рассматриваемых факторов, которую характеризует коэффициент детерминации, очень низка (примерно 6 и 5% соответственно); лишь во втором уравнении (15.4), параметры которого оценивались по квартальным данным, присутствует одна статистически значимая переменная – процентный спрэд, поскольку для этой переменной (для 95% уровня значимости). Для остальных переменных указанное неравенство не выполняется, и все эти переменные являются статистически незначимыми. Следует отметить также относительно малое значение F-статистики, что свидетельствует об отсутствии статистический связи между рассматриваемыми переменными.¹

Результаты расчетов свидетельствуют, что выбранные факторы довольно плохо описывают доходность фондового рынка, значительная часть полученных оценок параметров является статистически незначимой и необходимо изменить исходный набор факторов.

Контрольное задание____________________________________

3. Что показали результаты экспериментальных расчетов?

4. По каким статистическим параметрам оценивается качество уравнений регрессии?

Изменение факторов модели

Были сделаны следующие шаги по улучшению качества уравнения регрессии при учете квартальных данных.

Во-первых, следует исключить из рассмотрения крайние значения наблюдаемых переменных, которые могут определяться не общей закономерностью развития этих переменных, а какими-то чрезвычайными обстоятельствами. В данном случае были исключены из исходных рядов наблюдений данные, соответствующие кризису фондового рынка Великобритании в октябре 1987 г. Это позволило получить следующие результаты расчетов параметров уравнения доходности фондового рынка:

(15.5)

R²_норм=0,11, F=3,148.

Дисперсия независимых переменных объясняет теперь 11% дисперсии доходности фондового рынка, повысилось значение F-статистики. В уравнении (15.5) уже присутствуют две статистически значимые переменные: инфляция и процентный спрэд.

Во-вторых, из уравнения регрессии следует исключить переменные, параметры которых не были статистически значимы ни в одном из рассматриваемых уравнений (15.4) и (15.5). В данном случае это временной спрэд и темпы промышленного роста. Вместо них были введены следующие независимые переменные: норма дивиденда и темп промышленного роста со сдвигом на квартал вперед. Включая в уравнение регрессии норму дивиденда, мы основывались на следующей формуле:

,

где D/P – исходная норма дивиденда, т.е. отношение дивиденда на акцию (D) к цене акции (P), g – темп прироста дивидендов.

Включая в регрессионное уравнение показатели будущего роста промышленного производства, мы основывались на хорошо известном положении: фондовый рынок, как правило, опережает реальный сектор в своем развитии.

Было оценено уравнение регрессии, включающее темп роста промышленного производства с различным опережением: один, три, шесть, девять и двенадцать месяцев. На основе F-критерия, используя метод последовательного исключения факторов, мы получили набор переменных, которые, будучи статистически значимыми, объясняют более 50% вариаций доходности фондового рынка (15.6). Эти переменные – прирост промышленного производства со сдвигом на один квартал вперед, разность доходности по корпоративным и государственным облигациям, инфляция, норма дивиденда:

(15.6)

R²_норм = 0,51, F = 14,74.

В результате были установлены параметры и определены факторы основного уравнения арбитражной теории ценообразования, показывающие, что равновесная ожидаемая доходность на фондовом рынке линейно зависит от ряда макроэкономических факторов, а ее отклонение при изменении значения выделенных факторов зависит от коэффициентов чувствительности к изменению соответствующих факторов. Эмпирически были найдены следующие факторы, объясняющие более половины вариации доходности фондового индекса FTSE-100:

• прирост промышленного производства со сдвигом на один квартал вперед;

• разность доходности по корпоративным и государственным облигациям, процентный спрэд;

• инфляция;

• норма дивиденда.

Исключение показателя разности долгосрочного и краткосрочного процента, а также введение сдвига показателя промышленного прироста на три месяца вперед привели к существенному улучшению качества регрессии. Однако полученные результаты нельзя считать окончательными: не исключено, что зависимость видоизменяется за пределами рассмотренной выборки, поэтому необходима оценка регрессий для других факторов и для выборок больших объемов. Также необходима оценка факторных моделей не только для биржевого индекса, но и для отдельных ценных бумаг.

Преимущество модели APT по сравнению с моделью ценообразования на финансовые активы при оценке ожидаемой доходности отдельных рисковых активов и фондового рынка в целом состоит в том, что в модели APT используется гораздо меньше исходных предпосылок о поведении инвестора, учитывается невозможность арбитража в условиях рыночного равновесия, рассматриваются многофакторные модели доходности рисковых активов, а не однофакторные – как в модели ценообразования на финансовые активы.

Недостатки рассматриваемого подхода прежде всего связаны с отсутствием каких-либо исходных предположений о конкретных факторах, влияющих на доходность как отдельных ценных бумаг, так и фондового рынка в целом, и предполагающих их эмпирическое обоснование.

В литературе можно отметить утверждения, что поскольку отбор факторов и обоснование коэффициентов уравнения (15.1) проводятся на основе динамических рядов наблюдений за прошлые периоды, то результаты расчетов по модели APT не поддаются корректной проверке, и потому практическая ценность данной модели может быть подвержена сомнению. Вместе с тем именно модели арбитражного ценообразования используются во всем мире для прогнозирования фондового рынка и отдельных рисковых активов.

Перспективы развития модели APT связаны с практическими проблемами обоснования учитываемых в модели факторов, с повышением качества прогнозов. В отечественных условиях к этому также следует отнести и отсутствие достаточно длительных рядов наблюдения.

Контрольное задание____________________________________

5. Какие методы используются для повышения качества уравнений регрессии?

6. В чем преимущества и недостатки использования многофакторных моделей фондового рынка для анализа и прогнозирования?

7. Используя метод наименьших квадратов и учитывая следующие данные по экономике России до августовского кризиса 1998 г. (табл. 15.1), постройте уравнение регрессии для индекса РТС.

8. Учитывая данные табл. 15.1, определите темпы прироста индекса РТС (доходность на индекс) и темпы прироста указанных экономических показателей. Используя метод наименьших квадратов, получите оценки параметров регрессионного уравнения доходности на индекс РТС в зависимости от темпов прироста указанных показателей.

У к а з а н и е: рассмотрите не только указанный период наблюдения, но проанализируйте также по отдельности период роста индекса РТС с 25.09.95 до 25.08.97 и период его падения с 25.08.97 по 25.08.98.

Таблица 15.1