7.3. Визначення координат точок кутовими і лінійними засічками

Координати окремих точок, розташованих осторонь від тео­долітних ходів, можуть бути визначені аналітично за допомо­гою кутових або лінійних побудов, які мають назву засічок. Залежно від розташування вимірюваних кутів відносно пункту (точки), положення якого визначають, засічки бувають прямі і обернені.

Пряма кутова засічка є геодезичною побудовою (рис. 7.7,а) у вигляді трикутника з виміряними кутами β₁ і β₂ лише в пунктах з відомими координатами А і В (відповідно х_А, y_A і х_В, y_В).

Рис. 7.7. Пряма кутова засічка

Існує декілька варіантів обчислення координат точок з використанням прямої засічки, а саме: за допомогою приростів координат, за формулами котангенсів виміряних кутів (формули Юнга), за формулами тангенсів дирекційних кутів (формули Гаусса). В перших двох випадках згідно з рис. 7.7.а міряються кути ₁ і ₂ в трикутнику АОВ. А для надійності визначення координат точки О засічку дублюють з пунктів В і С, тобто вимірюють і кути ₁′ і ₂′ в трикутнику ВОС.

Для прикладу обмежимось визначенням координат точки О тільки з трикутника АОВ. Як відомо з прямої геодезичної задачі:

, ;

, .

Але відстані s_AO і s_BO, так само як і дирекційні кути _AO і _BO невідомі, їх потрібно визначити. Тому спочатку за формулами оберненої геодезичної задачі обчислюють дирекційний кут _AB і горизонтальне прокладання лінії s_AB. Далі визначають дирекційні кути _AO і _BO:

, ,

де _BА = _AВ + 180°;

Відстані S_AO і S_BO визначають за формулами теореми сінусів, а саме:

, , (7.10)

де ₀ =180°- (₁₊₂).

Координати точки О обчислюють за формулами:

, ;

, .

Остаточними вважають середні арифметичні значення координат точки О за даними проведення повторної засічки.

Для знаходження координат точки О можна використати і формули Юнга:

, (7.11)

;

В тих же випадках, коли відсутня видимість між вихідними пунктами А і В, що унеможливлює створення трикутника (рис. 7.7,б), вимірюють кути між шуканою точкою О та вихідними сторонами β₁ і β₂ і з їх допомогою обчислюють дирекційні кути _AO і _BО. Для цього спочатку, розв’язуючи обернену геодезичну задачу, визначають дирекційні кути _КА і _ВС, а далі обчислюють дирекційні кути на точку О:

, .

Далі координати точки О обчислюються за формулами тангенсів Гаусса:

, (12)

Надійність визначення координат досягається за рахунок розв’язання повторної засічки.

Рис. 7.8. Обернена кутова засічка

Обернена кутова засічка є визначенням координат четвертого пункту за координатами трьох вихідних пунктів і двох кутів, виміряних на пункті, координати якого визначають. На рис. 7.8 вихідними точками є точки А, В і С, шуканою є точка О, виміряними є кути  і β. Перше вирішення цієї задачі було запропоновано французьким математиком Л. Потенотом, тому визначення координат оберненою засічкою часто називають задачею Потенота. Існує декілька способів вирішення цієї задачі (Ансермета, Коллінса, Праніс-Праневича та ін.).

Найчастіше обернена засічка вирішується способом Коллінса. Суть цього способу полягає в тому, що через вихідні точки А і В і точку О, положення якої визначається, умовно проводять коло. Напрямок ОС продовжують до його перетину з колом. Точку перетину Q і називають точкою Коллінса. З’єднавши між собою точки А, Q, В, О а також А і В, О та Q, одержують просту, але зручну побудову. Зручність її полягає в тому, що кути, вершини яких лежать на лінії кола і спираються на одні і ті ж дуги цього кола, будуть рівними за величиною, тобто кут АВQ дорівнюватиме кутові АОQ і кут ВАQ дорівнюватиме кутові ВОQ. Це дає можливість визначити координати точки Q розв’язанням прямої засічки з точок А і В за формулами Юнга (7.11). Координати цієї точки потрібні для визначення дирекційного кута _QC, якому буде дорівнювати і дирекційний кут _ОQ, як дирекційні кути одного і того ж напрямку. Ці дирекційні кути обчислюють, вирішуючи обернену геодезичну задачу за точками С і Q. Саме в цьому значення точки Коллінса. Обчисливши дирекцій-ний кут _ОQ, з урахуванням кутів  і β визначають дирекційні кути _АО і _ОВ, а потім і дирекційні кути _ВО і _ОА. Далі за формулами тангенсів (7.12) обчислюють координати точки О.

Лінійна засічка базується на вимірюванні віддалей від точки (яка є додатковою до основної геодезичної мережі) до двох пунктів мережі з подальшим обчисленням за отриманими даними координат цієї точки.

Рис. 7.9. Лінійна засічка

За способом Баландіна В.Н. спочатку в трикутнику АОВ (рис. 7.9) обраховують величину кута β₁ за формулою:

,

де s_AB, s_AO, s_BO – довжини сторін трикутника.

Знаходять дирекційний кут сторони АО:

Далі знаходять координати точки О за формулами прямої геодезичної задачі:

; .

Контролюють обчислення визначенням горизонтального кута β₂, дирекційного кута _ВА та повторно значень координат точки О:

;

,

Під час застосування лінійної засічки бажано, щоб трикутник АОВ був близьким до рівностороннього, а довжини його сторін не були більшими за довжину мірного приладу.

Контрольні запитання

1. Як можна визначити планове положення точок місцевості?

2. Для чого потрібна геодезична основа?

3. Що таке пряма геодезична задача?

4. Що таке обернена геодезична задача?

5. Яка найпростіша геодезична опорна мережа?

6. Скільки вихідних пунктів мають замкнуті і розімкнуті теодолітні ходи?

7. Які дані потрібні для визначення координат точок теодолітного ходу? Як контролюють обчислення координат?

8. В яких випадках використовують прямі і обернені кутові засічки?

9. Які особливості має лінійна засічка?