4.3. Математична обробка результатів вимірювань та оцінка їх точності

Завдання математичної обробки результатів геодезичних вимірювань – одержати найвірогідніші значення та оцінити ступінь їх наближення до дійсних об'єктів, що вимірюються, або точність вимірювань. Одним з критеріїв точності у топографо-геодезичній практиці є відносна похибка . За .найвірогідніше значення приймають середнє арифметичне з декількох рівноточних вимірювань, тобто

,

де х₁, ..., х_n – результати вимірювання; n – кількість вимірювань.

Тоді похибкою вимірювання _і , (замість істинної похибки ) буде різниця між окремою величиною виміру х_і і середнім арифметичним, тобто:

.

Під час проведення топографо-геодезичних робіт дуже часто однорідні величини вимірюють тільки двічі. Похибку вимірювань, яку називають абсолютною похибкою f_абс, визначають як різницю між двома одержаними значеннями, тобто

f_абс = (х₁ – х₂) (4.1)

Відносна похибка f_відн при цьому визначиться відношенням f_абс до величини . Прийнято визначити цю похибку у вигляді дробу, чисельник якого дорівнює одиниці. Таким чином,

f_відн = f_абс : = 1 : ( : f_абс) (4.2)

де

= (х₁+х₂) : 2

Відносна похибка вимірювань не повинна перевищувати допустимого значення f_доп, яке регламентується відповідною інструкцією, тобто

f_відн ≤ f_доп (4.3)

Приклад. Між об'єктами місцевості двічі виміряна відстань: S₁ = 215,77м та S₂ = 215,71м; відомо також, що f_доп = 1:3 000. У цьому разі

f_абс = 215,77 м - 215,71 м = 0,06 м;

= (215,77 м + 215,71 м) : 2 = 215,74 м;

f_відн = 1 : (215,74 м : 0,06 м) = 1:3 595 < 1:3 000.

Відносна похибка менша за допустиму величину, отже, відстань виміряна правильно.

При багаторазовому вимірюванні певної величини за критерій точності беруть середню квадратичну похибку m, яка в топографо-геодезичній практиці обчислюється за формулою:

;

Результати вимірювань передаються наближеними числами, тому необхідні обчислення слід виконувати за правилами дій з такими числами з врахуванням достатньої кількості в них значущих і точних цифр (значущими є усі цифри числа окрім попередніх нулів, наприклад у числі 1,0 200 п’ять значущих цифр, у числі 0,000 102 - три). Кожен результат повинен мати таку кількість цифр, яка відповідає точності його одержання. Так, виміряна відстань становить 156,3 м, якщо точність робіт 0,1 м, та 156,30 м, коли точність 0,01 м.

Приклад. Перевищення точок обчислюють за формулою h = s tg  (див. 8.7). Вихідні дані: s = 104,5 м,  = +5°30 . Точність обчислення перевищення при цьому повинна дорівнювати 0,1 м. Значення кута має три значущі цифри, тому tg кута вибираємо також з трьома значущими цифрами плюс одна додаткова, тобто tg 5°30 = 0,09 629. Тоді h = 104,5 м  0,09 629 = 10,06 м. З урахуванням знака кута нахилу та правил заокруглення наближених чисел h = +10,1 м.