Показані напрями на пікети)

Між системами полярних і прямокутних координат встановлено математичний зв’язок, який дозволяє переходити від координат одної системи до координат другої. Обчислення плоских прямокутних координат базується на вирішенні прямої і оберненої геодезичної задачі.

Пряма геодезична задача є визначенням координат кінцевої точки лінії за довжиною її горизонтального прокладання, напрямком та координатами початкової точки. Так, якщо взяти точку А (рис. 7.2) за полюс полярної системи координат, а пряму АС – за полярну вісь, паралельну осі ОХ, то полярними координатами точки В будуть вектор s і кут напрямку . Потрібно обчислити прямокутні координати цієї точки в системі плоских прямокутних координат XOY. На рис. 7.2 видно, що x_В відрізняється від x_А на величину (х_В – x_А) = Δx_AB, а y_В відрізняється від y_А на величину (y_В – y_А) = Δy_AB. Різниці координат кінцевої (В) і початкової (А) точок лінії АВ Δx_AB і Δy_AB називають приростами координат. З рисунка видно, що приростами координат лінії АВ є її ортогональні проекції на координатні осі, а координати x_В і y_В можуть бути обчислені за формулами:

y_В = y_А + Δy_АВ; х_В = х_А + Δх_АВ. (7.1)

Рис. 7.2. Пряма та обернена геодезичні задачі

Значення приростів визначають з прямокутника АВС за заданими s і , оскільки прирости Δx і Δy є катетами цього прямокутного трикутника:

Δ х_АВ = s cos , Δy_АВ = s sin  (7.2)

Прирости координат мають різні знаки. Знак приростів залежить від знака косинуса і синуса кута напрямку або від назви чверті прямокутної системи координат (табл. 7.1).

Підставивши значення приростів Δx_AB і Δy_AB у рівняння (7.1), одержимо формулу для розв’язання прямої геодезичної задачі:

х_В = х_А + s cos , y_В = y_А + s sin  (7.3)

Таблиця 7.1

Знаки приростів координат в залежності від чверті розташування напрямку

Кут напрямку, град	Чверть	Знаки приростів координат
		Δx	Δy
0-90	I – ПнСх	+	+
90-180	II – ПнСх	-	+
180-270	III – ПдЗх	-	-
270-360	IV – ПнЗх	+	-

Обернена геодезична задача є визначенням довжини горизонтального прокладання s і кута напрямку  лінії АВ (див. рис. 7.2) за даними координатами її початкової точки А (x_А, y_А) і кінцевої В (x_В, y_В). Кут напрямку можна визначити, обчисливши його тангенс за катетами прямокутного трикутника:

. (7.4)

Горизонтальне прокладання s згідно з формулою (7.2) можна визначити за двома формулами:

, . (7.5)

Обернену задачу можна розв’язати в такій послідовності: спочатку обчислити горизонтальне прокладання S за теоремою Піфагора:

,

а потім обчислити кут напрямку  за формулою (7.4).

Найпростіша геодезична опорна мережа – геодезичний хід як сукупність точок, розташованих і закріплених на місцевості так, щоб забезпечити послідовне (від точки до точки) вимірювання віддалей між ними (сторін ходу), кутів, утворених цими сторонами, та перевищень між точками. Хід може бути замкнутим (якщо перша і остання точки не співпадають) або розімкнутим (якщо точка 1 ходу є і початковою і кінцевою), що ілюструють рис. 7.3 та 7.6. Замкнутий хід називають також полігоном. В залежності від приладів, застосованих під час прокладання ходу, його називають теодолітним, нівелірним, мензульним.

Таблиця 7.2

Номер точки

Кути виміряні βпр

Поправки ν

Кути виправлені βпр

Дирекційні кути α

Румби r

Довжини сторін s, м

Приріст координат обчислений

Приріст координат виправлений

Координати точок

Δ x

поправки vx

Δ y

поправки νy

Δ x

Δ y

x

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

66º27,6'

-0,4'

66º27,2'

+100,00

+100,00

80º20,0'

ПнСх:80º20,0'

58,43

+9,81

-0,03

+57,60

+0,01

+9,78

+57,61

2

95º24,3'

-0,4'

95º23,9'

+109,78

+157,61

164º56,1'

ПдСх:15º03,9'

70,15

-67,74

-0,03

+18,23

+0,01

-67,77

+18,24

3

144º31,5'

-0,4'

144º31,1'

+42,01

+175,85

200º25,0'

ПдЗх:20º25,0'

61,17

-57,33

-0,03

-21,34

+0,01

-57,36

-21,33

4

41º28,6'

-0,4'

41º28,2'

-15,35

+154,52

338º56,8'

ПнЗх:21º03,2'

83,41

+77,84

-0,03

-29,96

+0,02

+77,81

-29,94

5

192º10,0'

-0,4'

192º09,6'

+62,46

+124,58

326º47,2'

ПнЗх:33º12,8'

44,89

+37,56

-0,02

-24,59

+0,01

+37,54

-24,58

1

+100,00

+100,00

80º20,0'

Р = 318,05

+125,21

-0,14

+75,83

+0,06

+125,13

+75,85

2

-125,07

-75,89

-125,13

-75,85

Визначення координат точок теодолітного ходу