7.2. Теодолітні ходи. Обчислення координат точок теодолітних ходів

Теодолітний хід — це геодезична побудова у вигляді замкнутої або розімкнутої ламаної лінії на місцевості, в якій горизонтальні кути міряються теодолітами, а довжини сторін землемірними стрічками, рулетками або світловіддалемірами.

Теодолітний хід може бути доповненням до вже існуючої геодезичної мережі і тоді координати його початкової точки визначають з урахуванням координат найближчих пунктів цієї мережі (процес має назву прив’язки теодолітного ходу). Не прив’язаний до існуючої мережі хід називають вільним..

Перед початком вимірювань точки теодолітного ходу, або точки повороту чи вершини ходу, закріплюють на місцевості. При виборі місцеположення точок керуються зручністю подальшого вико­ристання їх та забезпеченням довгострокового збереження. Закріплюють точки тимчасовими або постійними геодезични­ми знаками. За тимчасові знаки служать дерев'яні стовпи і кілки, металічні костилі та труби. Центри знаків маркірують (тобто позначають) фарбою або цвяхами. Тимча­сові знаки використовують на невеликих ділянках, а також і тоді, коли нема необхідності у тривалому їх зберіганні.

У замкнутому теодолітному ході (рис. 7.3) вихідними даними для обчислення координат точок є:

• довжини всіх сторін ходу s_1-2, s_2-3,…, S_N (N - кількість сторін);

• горизонтальні кути, створені сторонами ходу в усіх його точках ₁, ₂,…, _n (n – кількість кутів);

• дирекцій ний кут початкової сторони _1-2;

• плоскі прямокутні координати x_П, y_П початкової точки ходу.

Довжини теодолітних ходів і довжини сторін ходу залежать від масштабу знімання, вимог до точності вимірювань і виду приладів, які використовуються при прокладанні теодолітних ходів. Зокрема, під час прокладання теодолітних ходів з використанням оптичних теодолітів, мірних стрічок та рулеток довжини ходів в залежності від масштабу і вимог до точності вимірювань коливаються від 0,3 км до 6 км, а довжини сторін в межах 20-350 м, а під час прокладання теодолітних ходів з використанням світловіддалемірів та електронних тахеометрів (див. далі 12.2) довжини ходів коливаються в межах від 2 до 16 км, а довжини сторін в межах від 20 до 1500 м.

Сторони в теодолітних ходах вимірюють в прямому і зворотному напрямках. Відносна похибка не повинна перевищувати 1:2000. Для визначення поправки за приведення довжин ліній до горизонту (визначення їх прокладання) при кутах нахилу 1,5° і більше одночасно із вимірюванням горизонтальних кутів вимірюють і вертикальні кути.

Горизонтальні кути (праві або ліві відносно сторін ходу, як показано на рис. 7.3) вимірюють повним прийомом (див. 6.5). Кількість кутів дорівнює кількості сторін ходу.

Дирекційний кут ходу, прив’язаного до вже існуючої геодезичної мережі, визначають рішенням оберненої геодезичної задачі, у вільному ході його замінником може бути азимут магнітний, виміряний бусоллю.

Плоскі прямокутні координати x і y початкової точки можуть бути дійсними, якщо вони визначені відносно координат певного пункту вже існуючої геодезичної мережі, або умовними, якщо хід вільний. У прикладі, що ілюструє обчислення координат точок ходу, обрана умовна система координат.

Рис. 7.3. Схема теодолітного полігона

Рис.7.4. Залежність між дирекцій- ними кутами при правих (а) та лівих (б) кутах повороту

Результати обчислень координат точок теодолітного ходу за даними польових робіт (практичні результати) через різні причини відхіляються від теоретично можливих. Різницю між практичними результатами вимірювань і такими, що є теоретично обґрунтовані, називають нев’язкою. Її величина не повинна перевищувати теоретично обґрунтованих значень. Така нев’язка вважається допустимою. Допустиму нев’язку ліквідують шляхом внесення в результат обчислення поправки, тобто числової величини, врахування якої дозволяє привести результат вимірювання до теоретично можливого значення. Цей процес має назву вирівнювання або ув’язки результатів обчислення. Хід обчислень координат контролюється на кожному етапі роботи.

Пояснимо на прикладі порядок визначення координат точок замкнутого теодолітного ходу, схематичне зображення якого наведено на рис. 7.3. На місцевості в ньому виміряні горизонтальні кути і довжини сторін, що подані у графах 1,2 та 7 табл. 7.2. Дирекційний кут лінії 1-2 (графа 5) та прямокутні координати точки 1 (графи 14, 15) умовні. Роботу обчислення проводять поетапно.

1. Вирівнювання кутових вимірів. Практично виміряні кути (табл.. 7.2, графа 2) підсумовують і одержують значення _пр, обчислюють теоретичну суму кутів багатокутника за формулою:

,

де n – число кутів у ході.

Визначають різницю між сумами виміряних кутів _пр і теоретично можливою _т, або кутову нев’язку ƒ_пр, за формулою:

,

а також допустиму кутову нев’язку ƒ_доп за формулою:

. (7.6)

У нашому прикладі _пр=54002′, _т=540, ƒ_пр=+2′.

Допустима нев’язка

Таким чином, практична нев’язка не перевищує допустиму, отже, можна приступати до вирівнювання кутів.

Вирівнювання кутів складається з визначення поправок ₁, ₂,…,_n, внесення їх у польові виміри і отримання виправлених значень кутів, сума яких повинна дорівнювати теоретичній. У теодолітних ходах кутову нев’язку розподіляють з оберненим знаком порівну на всі кути, якщо довжини сторін полігона не суттєво відрізняються між собою за формулою:

_i= : n .

У випадках, коли довжини сторін полігона різко відрізняються між собою, поправки в кути обернено пропорційні до довжини сторін, тобто більші поправки вводять в кути, утворені коротшими сторонами, тому що точність вимірювання таких кутів дещо нижча порівняно з кутами, утвореними довшими сторонами. З тієї ж причини малу нев’язку розподіляють тільки між кутами, утвореними короткими сторонами.

Контроль підрахунків кутових поправок такий: сума поправок повинна дорівнювати нев’язці з оберненим знаком, тобто =-ƒ_пр. Виправлені значення кутів _вп одержують за формулою:

_вп=_пр+_i

Контроль обчислень: сума виправлених кутів дорівнює теоретичній (графи 3 і 4 табл. 7.2).

2. Обчислення дирекційних кутів сторін полігона і пе­рехід від них до румбів. Дирекційні кути всіх сторін полігона обчислюють за початковим значенням _1-2 і виправленими значеннями внутрішніх кутів. Обчислення ведеться по­слідовно:

_2-3 = _1-2 + 180° - β₂, _3-4 = _2-3 + 180° - β₃ і т.д.

В ході обчислень додають або віднімають, якщо потрібно, 360° з тим, щоб остаточне значення дирекційного кута не було від'ємним або більшим 360°. Контролюють підрахунки за таким правилом: обчисле­ний початковий дирекційний кут повинен дорівнювати вихідному значенню. У наведеному прикладі вихідний і обчис­лений дирекційний кути дорівнюють 80°20' кожний (див. гра­фу 5 табл. 7.2).

З метою спрощення подальших підрахунків від дирекційних кутів переходять до румбів сторін на основі залежності між ни­ми (див. 1.6). Запис румбів ведуть у графі 6.

3. Обчислення приростів координат. Приріст координат знаходять за формулами (7.2) прямої геодезичної задачі з використанням мікрокалькуляторів, п'ятизначних таблиць тригонометричних функцій, таблиць логарифмів або таблиць приросту координат. Попередньо слід ознайомитись з правилами роботи з таблицями.

Отримані значення приростів виписують у відповідні графи відомості (див. табл. 7.2). Потім контролюють правильність підрахунків на цьому етапі. Відомо, що алгебраїчні суми при­ростів в замкнутому полігоні повинні дорівнювати 0. Практичні значення сум відрізняються від 0, тому виникають лінійні нєв’язки f_Δx і f_Δy. Їх значення отримують підсумовуванням обчислених приростів.

Загальну абсолютну лінійну нев’язку полігона f_абс обчислюють за формулою:

f_абс = , (7.7)

а відносну похибку f_відн за формулою:

f_відн = , (7.8)

де Р — периметр полігона.

Допустима відносна похибка теодолітного ходу не повин­на перевищувати заданого значення (в нашому прикладі — 1:2000). Наведені в таблиці підрахунки показують, що одер­жане значення лінійної відносної похибки 1:2120 не перевищує гра­ничної величини, тому можна приступити до вирівнювання обчисле­них приростів.

4. Вирівнювання приросту координат. Спочатку одержують по­правки у визначені прирости координат за формулами

; , (7.9)

де Р і s виражають в десятках або сотнях метрів з метою спро­щення підрахунків. З формул видно, що значення поправки пропорційне довжині сторони полігона (її горизонтальному прокладанню). Знак поправки завжди обернений до знака нев’язки. Поправку визначають до 0,001 м, а потім заокруглюють до 0,01 м.

Контролюють цей етап такою вимогою: сума поправок по­винна дорівнювати нев’язці з протилежним знаком, тобто

;

У нашому прикладі f_х = +0,14 м, у периметрі 32 десятки (318,05 м). Легко визначити, що на один десяток метрів припадає 0,14 : 32 = 0,004 м. Довжина пер­шої сторони s_1-2 містить 6 десят­ків, отже, 0,004∙6 = 0,03 м, що є поправкою до першого приро­сту. Аналогічно знаходимо по­правки до інших приростів. Підсумовуємо їх і звіряємо із значенням нев’язки. Якщо от­римана сума відрізняється на деяку величину від нев’язки за ра­хунок заокруглення, то слід виправити поправки так, щоб їхня сума за модулем не відрізнялась від значення нев’язки. Знай­дені поправки додають алгебраїчно до відповідних приростів. Для контролю підсумовують виправлені значення приростів їхня сума повинна дорівнювати 0. У нашому прикладі (див. графи 12 і 13 табл. 7.2) цю умову виконано.

5. Обчислення координат точок полігона. Координати точок полігона визначають послідовно (рис. 7.5) за формулою прямої геодезичної задачі. Стосовно нашого прикладу форму­ли мають вигляд:

х₂ = х₁ + Δх_1-2; х₃ = х₂ + Δх_2-3 = 3 і т.д. і y₂ = y₁+Δу_1-2 і т.д.

Рис. 7.5. Залежність між координатами точок теодолітного ходу

Контролюють обчислення визначенням координат першої точки так:

х₁ = х₅ + Δх_5-1; y₁ = y₅+Δy_5-1 ,

і порівнюють їх з вихідними значеннями, тобто обчислені координати х₁ і у₁ повинні дорівнювати вихідним значенням. У нашому прикладі цю умо­ву виконано (див. графи 14 і 15 табл. 7.2).

Розімкнутий теодолітний хід (рис. 7.6) своїми кінцями примикає до точок В і С планової геодезичної мережі, коор­динати яких відомі. Вихідними даними для нього є:

• дирекційні кути сторін АВ та CD, які розглядають відповідно як початковий _поч. та кінцевий _кінц.;

• плоскі прямокутні координати початкової і кінцевої точок ходу відповідно x_П і y_П та x_К і y_К

Крім того, кількість кутів ходу на одиницю більша, ніж кількість сторін ходу, тобто n_ = N+1. Кути ₁ і _n, утворені сторонами мережі і ходу мають назву прилеглих.

Рис. 7.6. Схема розімкнутого теодолітного ходу

Формули визначення теоретичної суми виміряних кутів залежать від того, які кути мірялися в ході – праві по ходу, чи ліві.

Коли міряються праві кути, формула має вигляд:

.

Коли ж кути міряються ліві, формула має вигляд:

.

Кути _поч. і _кінц. обчислюються за формулами оберненої геодезичної задачі.

Кутову нев’язку розімкнутих теодолітних ходів обчислюють за формулою:

.

Одержану нев’язку перевіряють на допустимість за формулою (7.6) і в разі допустимості розподіляють так, як і в замкнутому полігоні. Контролем правильності підрахунків є рівність обчисленого кінцевого дирекційного кута його вихідному значенню.

Обчисливши за формулою (7.2) прирости координат, вираховують нев’язку у їх значеннях, спочатку підрахувавши теоретичну її величину за формулами:

; ,

а потім і практичну, яка є сумою обчислених за вимірами приростів:

; ,

і тоді нев’язки у приростах отримують за формулами:

; .

Визначивши допустимість нев’язок за формулами (7.7) і (7.8), компенсують їх поправками, обчисленими за формулами (7.9), і отримують виправлені прирости координат, за якими обчислюють остаточне значення координат всіх точок ходу (так як у замкнутому полігоні). Контролем є рівність обчислених координат кінцевої точки з її вихідним значенням.