3.7. Визначення площі

Визначити площу ділянки на карті - це значить провести вимірювальні та обчислювальні роботи, в результаті яких пло­щу ділянки одержують у земельній мірі: квадратних метрах, гектарах тощо. При цьому визначається площа не фізичної по­верхні ділянки місцевості Р_ф, а її проекції на горизонтальну площину Р (рис. 3.21):

Р = Р_ф cos , a Р_ф = P : cos .

Залежно від потрібної точності результатів застосовують різні способи визначення площі: за допомогою палетки, графічний, механічний, аналітичний, фотоелек­тронний. Кожний з них застосовують самостійно або разом з іншими.

Визначення площі за допомогою палетки. Палетка - це нанесена на прозору основу сітка квадратів, точок, паралель­них рівновіддалених ліній тощо.

Робота з квадратною палеткою (рис. 3.22, а) починається з визначен­ня величини її поділки р в мм² або см². Відомо, що р = а², де а - сторона поділки палетки в міліметрах або сантиметрах.

Рис. 3.21. Взаємне положення фізичної поверхні ділянки місцевості і горизон­тальної площини

Рис. 3.22. Палетка: квадратна (а); паралельна (б)

Потім визначають ціну поділки палетки с_р, тобто число одиниць земельної міри, яке відповідає одній поділці палетки для карти певного масштабу: с_р = (ас)², де с - ціна 1мм (1см) в масштабі карти.

Площа Р, визначена за допомогою палетки, обчислюється за формулою:

Р = n_pc_p,

де n_p - кількість поділок палетки, що обмежені контуром ділянки.

Для підрахування поділок палетки n_p її накладають на ділянку, площа якої вимірюється, і лічать кількість повних n та непов­них n поділок (тих, що розсічені контуром ділянки). Доведе­но, що n_{p =} n +(n :2).

Вимірювання повторюють, змінивши положення палетки відносно початкового. Палетку слід накладати так, щоб контур площі розсікав якомога менше поділок палетки. Наприкінці роботи визначають точність вимірювання за формулами (4.1) – (4.3) і порівнюють її значення з допустимим. Якщо вимога (4.3) ви­конується, то за остаточне значення Р беруть середнє арифме­тичне з двох результатів вимірювань. Вважається, що допустима точність визначення площ палеткою дорівнює 1/50 - 1/100 площі, що вимірюється.

Рис. 3.23. Визначення площі ділянки графічним способом

Квадратні палетки рекомендується застосовувати для визначення площ малих ділянок (до 3 см²) з криволінійними обрисами. Їх використовують також для приблизного визначення площ великих ділянок. Основний недолік цих палеток – імовірність грубої помилки під час підрахунку поділок.

Імовірність помилок зменшується при використанні паралельної (лінійної) палетки. Площа, що вимірюється такою палеткою, виявляється розчленованою на фігури, що відсікаються контуром площі, близькими за формою до трапецій з основами а₁, а₂,..., а_n і сталою висотою h (рис. 3.22, б). Якщо вимірювати довжини середніх ліній трапеції, замість їх основ, то площу контура отримують за формулою:

ⁿ

Р = [ h ( a₁ + a₂ + … + a_п) ] c_p = ( h  a_i ) c_p,

¹

де a_{1, ...,} a_п – довжини середніх ліній трапеції, с_р - ціна 1 мм² (1 см²) залежно від масштабу карти.

При використанні паралельної палетки вимірювання відрізків ліній палетки всередині контуру доцільно проводити способом нарощування (див. 3.2). Па­ралельну палетку не рекомендується використовувати для ділянок площею понад 10 см².

Графічний спосіб застосовується для визначення площ ділянок розміром до 15 см² з відносно пря­молінійними межами (звивисті відрізки меж замінюють на прямі). Ділянку, що має форму многокутника, розбивають на прості фігури, площу яких можна вирахувати за відомими формулами. Доведено, що найбільш точні результати одержують при розбивці ділянки на трикутники (рис. 3.23), особливо на такі, що мають приблизно однакові основу а і висоту h. Результати обчислень переводять у масштаб карти. Формула визначення площі ділянки має вигляд:

Точність графічного способу дорівнює 1/100 - 1/200 площі, що вимірюється.

Визначення площі за допомогою плані­метра – дозволяє порівняно швидко виміряти площу ділянки будь-якої конфігурації.

Площу, яку вимірюють планіметром, отримують у поділках планіметра. Для визначення площі у земельній мірі знаходять ціну поділки, тобто відповідну їй кількість кв. м, ар, га на карті певного масштабу.

Планіметри як прилади для вимірювання площ на картах, мають різні конструкції. Найпоширенішими до останнього часу були механічні полярні планіметри (рис. 3.24), які складаються з двох важелів 1 та 5, що з'єднані між собою шарніром, і каретки 6. Полюсний важіль 1 обладнаний циліндром 2, що має голку, за допомогою якої планіметр закріплюють на робочій поверхні. Голка виконує роль полюса, навколо якого переміщуються важелі приладу під час роботи. Обвідний важіль 5 закінчується обвідною лупою з міткою 4, якою проводять по контуру ділянки, що вимірюється, тримаючись за рукоятку 3. На важелі 1 нанесено шкалу для визначення його довжини, котру отримують за допомогою верньєра (допоміжної шкали для визначення частки поділок основної шкали) 8, розміщеної в каретці. В ній також розташований лічильний механізм 7 для визначення площі, що вимірюється (рис. 3.25). Його дія ґрунтується на обертанні лічильного барабана 2 в результаті дотику його ободу 3 до по­верхні карти. Одна тисячна ободу барабана є одиницею виміру площі - поділкою планіметра. Поділки планіметра відрахо­вують за допомогою шкал лічильного пристрою: основну шка­лу пристрою розділено на 100 поділок; до­поміжна шкала верньєра 1 з нульовим відліковим штрихом дає змогу визначити десяті частки поділки барабана (або 1/1000 його ободу). Кількість обертів барабана визначають за циферб­латом 4 з покажчиком 5. Повний оберт циферблата дорівнює 10 000 поділок планіметра. На рис. 3.25 відлік становить 3721.

Рис. 3.24 Полярний планіметр (механічний)

Рис. 3.25. Лічильний механізм планіметра

Схема роботи з планіметром така: карту закріплюють на по­верхні стола; прилад установлюють в робоче положення, тобто обвідну мітку суміщають з чітко вираженою точкою на межі ділянки. Важелі розташовують так, щоб кут між ними становив близько 90, а під час обведення контуру ділянки він не був меншим від 30 і більшим від 150 (дотримання цієї умови пе­ревіряють побіжним обведенням контуру). Голку полюсного циліндра після встановлення важелів удавлюють у поверхню стола. В цьому вихідному положенні береться початковий відлік N₁; потім обвідною міткою проводять по межі ділянки з поверненням у вихідну точку і знову беруть відлік (кінцевий) N₂; вираховується кількість поділок планіметра n_П, що припадають на ділянку, площа якої вимірюється:

n_П = N₂ – N₁ .

Площа ділянки Р, якщо вона невелика і планіметр під час роботи розміщується поза межами контуру, визначається за формулою:

P = n_П · c_П ,

де c_п – ціна поділки приладу, яку встановлюють перед вимірюванням площі.

При вимірюванні великих ділянок (більше 400 см²) планіметр встановлюють усередині контуру тоді пло­ща підраховується за формулою:

P = ( n_П+ Q)  c_П ,

де Q - постійне число планіметра.

Для визначення ціни поділки планіметра c_П всередині аркуша карти вибирають квадрат кілометрової сітки (або кілька квадратів в залежності від масштабу карти), оскільки площа його відома без вимірювання. Обраний квадрат обводять двічі при положенні важелів «полюс право» і двічі при їх положенні «полюс ліво» (рис. 3.26, а). При цьому положення полюса не змінюють (рис. 3.26, б).

Рис. 3.26. Взаємне положення важелів планіметра (а) та його зміна при вимірюванні площі ділянки (б)

Часто при першому визначенні с_П не має цілого значення, що ускладнює подальші розрахунки. Значення с_П, наприклад 0,1 га., досягають зміною довжини обвідного важеля, тобто відстані між обвідною міткою і положенням лічильного механізму, що визначається за шкалою 8 (див. рис. 3.24). Бажану довжину важеля R визначають за формулою:

R = R c_П : c_П ,

де R - початкова довжина важеля; c_П - початкова ціна поділки; c_П - бажана ціна поділки. Після визначення R лічильний механізм зміщують уздовж важеля до отриманого значення поділки шкали.

Перед початком роботи необхідно уважно вивчити інструкцію, що додається до планіметра, в якій докладно опи­сано прилад і правила поводження з ним. Одне з основних пра­вил: для послаблення конструктивних похибок обвід ділянки, що вимірюється, здійснюють мінімум двічі при різних положеннях полюса. Розбіжність отриманих даних не повинна пе­ревищувати двох поділок при площі ділянки до 200 поділок, трьох – від 200 до 2 000 поділок планіметра, чотирьох – більше 2 000 поділок планіметра.

Точність визначення площі полярним планіметром залежить від багатьох причин. Встановлено, що за його допомо­гою доцільно вимірювати ділянки понад 20 см². За сприятли­вих умов роботи точність результатів дорівнює 0,50 – 0,25%.

Малі ділянки, а також лінійно витягнуті об'єкти (дороги, річки тощо) краще вимірювати палеткою або графічним способом.

Найсучаснішими моделями, які значно прискорюють визначення площ, є електронні планіметри (полярні і роликові), конструктивні особливості яких зрозумілі з рис. 3.27.

Рис. 3.27. Електронні планіметри: полярний (а), роликовий (б).

Вдосконаленою моделлю є інтелектуальні електронні планіметри (рис. 3.28).

Рис. 3.28. Інтелектуальний електронний планіметр.

Більшість електронних планіметрів дозволяють враховувати масштаб і отримувати в результаті вимірювань реальне значення площі об’єкту, яке може бути виражене в різних одиницях вимірювання, а також виконувати взаємне перетворення одиниць. Інтелектуальні електронні планіметри дозволяють також виконувати вимірювання і обчислення не лише площ, а й довжин ліній, елементів кривих (центра кола та радіуса дуги, кута між двома лініями, координатні обчислення), об’ємів тіл, а також враховувати спотворення карт і планів, спричинені деформацією паперової основи, і вносити відповідні корективи в результати вимірювань.

Інтелектуальні електронні прилади дають можливість виконувати різноманітні вимірювання на кресленнях, планах і картах. На кресленнях можна також використовувати різноманітні розмітки і побудови за проектними даними за допомогою розміточної шпильки або маркера, які закріплюють на важелі планіметра. Планіметри мають двосторонній обмін даними з комп’ютером і мають можливість роздрукування їх на вбудованому міні-принтері, що дозволяє використовувати прилад як ручний дигітайзер і плотер (пристрої для друкування отриманих даних на папері, плівці, фоточутливих матеріалах та ін.)

Точність визначення площі електронним планіметром дорівнює 0.1-0,2%.

Рис. 3.29. Визначення площі ділянки аналітичним способом

Аналітичний спосіб визначення площ, розвиток якого базується на застосуванні нової обчислювальної техніки, потребує попереднього виз­начення координат точок контуру. Розглянемо цей спосіб на прикладі.

Площу Р трикутника ABC (рис. 3.29) з відомими координата­ми можна передати алгебраїчною сумою трапецій А' А ВВ', В'ВСС', А'АСС' ;

Р _АБС = Р _А'АВВ' + Р _В'ВСС' - Р _А'АСС' ;

2Р = (х₁ + х₂)  (у₂ – у₁) + (х₂ + х₃)  (у₃ – у₂) - (х₁ + х₃)  (у₃ – у₁).

Після перетворення

2Р = х₁ (у₂ - у₃) + х₂ (у₃ - y₁) + х₃ (у₁ - у₂);

2Р = у₁ (х₃ - х₂) + у₂ (х₁ – х₃) + у₃ (х₂ – х₁).

У загальному вигляді формули мають таку форму:

_{n n}

Р = 0,5  х_і (у_і+1 – у_і-1), Р = 0,5  y_і (x_і-1 – x_і+1),

^{1 1}

де n – кількість вершин багатокутника, і - номер вершини, який зростає за годинниковою стрілкою.

Для контро­лю обчислення проводять за двома формулами.

Точність аналітичного способу залежить від точ­ності визначення координат і сягає 1/1 000.