Показатели качества обслуживания заявки

В соответствии с формулами Литтла вычисляются следующие показатели.

Среднее время ожидания заявки в очереди

. (11.27)

Среднее время пребывания заявки в системе

. (11.28)

Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и ушедшим из очереди необслуженными

. (11.29)

Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам,

. (11.30)

Пример расчета характеристик смо с ожиданием

Задана СМО со следующими параметрами

• n = 2;

• λ = 0,8 (заявок в минуту);

• μ = 1 (заявок в минуту);

• среднее время, ограничивающее пребывание заявки в очереди, = 2 мин.

Расчетные параметры:

• нагрузка на систему

(эрлангов);

• интенсивность потока уходов

;

• приведенная интенсивность потока уходов

.

Показатели качества функционирования

Вероятность простаивания системы при указанных параметрах в соответствии с формулой (12.16) определяется следующим образом

,

где S – сумма бесконечного ряда.

Доказывается, что указанный ряд является сходящимся, в котором каждый последующий член a_k меньше предыдущего. Члены ряда a_k и сумма членов ряда S_k показаны соответственно на рис. 11.9 а) и б).

a_k

1 2 3 4 5 6 7 k 1 2 3 4 5 6 7 k

а) б)

Рис. 11.9.Члены ряда – а) и сумма ряда – б)

Поэтому сумму бесконечного сходящегося ряда S можно с определенной точностью заменить конечной суммой первых (r – 1)–го членов ряда. Конечную сумму обозначим через S_{r –1.}

Доказывается, что ошибка (остаток ряда) при такой приближенной замене будет

,

где r – номер члена ряда, начиная с которого происходит отбрасывание всех членов суммы.

Графически замена бесконечной суммы конечной суммой показана на рис. 11.10.

ε

S

S _r-1

r – 1 k

Рис. 11.10. Замена бесконечной суммы S конечной суммой S _{r -1}

Правило замены S на S _{r -1} с точностью до ε > 0 (точность ε > 0 задается заранее) состоит в следующем. Необходимо найти наименьшее (целое положительное) r ≥ 2, удовлетворяющее неравенству

,

и вместо S взять S _{r -1} с найденным r.

Итак, вероятность простоя системы определяется для рассматриваемого примера соотношением

. (11.31)

Найдем сумму S с точностью до ε = 0,01.

Для этого используется неравенство

.

Подставляя значение ρ = 0,8 и β = 0,5, имеем

.

Поскольку е^1,6 = 4,953 ≈ 5 получаем

.

Найдем наименьшее целое положительное r ≥ 2, удовлетворяющее полученному неравенству.

Вычисленные значения отношения представлены в табл.11.8.

Таблица 11.8

r	2	3	4	5	6	7	8
	1,28	0,683	0,273	0,087	0,023	0,005	0,001

При r = 8 имеем, что величина = 0,001 < 0,002. Таким образом, найдено, что r = 8. Поэтому в качестве приближенного значения суммы бесконечного ряда S с точностью до ε = 0,01 можно взять сумму S₇ первых семи его членов. Обозначим члены этого ряда через a_k. Тогда, с учетом того, что суммирование членов ряда осуществляется начиная с k = n + 1 = 3, имеем

S₇ = a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈ + a₉.

Сумма первых (r-1)-го членов ряда определяется в соответствии с формулой (11.32) следующим образом

. (11.32)

Для S₇ при n = 2 имеем

.

Вычисляем члены ряда:

при k = 3 переменная l =, т.к.l = n + 1 = 2 + 1 = 3,

;

k = 4, переменная l =,

;

k = 5, переменная l =,

;

k = 6, переменная l =,

;

k = 7, переменная l =,

;

k = 8, переменная l =,

;

k = 9, переменная l =,

.

Итак

S S₇ = 0,32 + 0,085 + 0,02 + 0,004 + 0,0007 + 0,0001 + 0,00002 = 0,42982 0,43.

Сумма первых (r-1)-го члена ряда может быть также определена в соответствии с формулой (12.33) следующим образом

. (11.33)

Для S₇ имеем

.

Вычисляем члены ряда

При k = 1 переменная l = и

.

Если k = 2, то l = ,

.

Остальные члены ряда вычисляются подобным же образом

а₃ = 0,020, а₄ = 0,004, а₅ = 0,0007, а₆ = 0,0001.

Последний член вычисляется при k = 7, l = ,

а₇ = 0,00002.

Величина суммы

S S₇ = 0,42982 0,43

Подставляя найденное значение S в формулу для вероятности простаивания системы (11.31), получаем:

.

Зная вероятность P₀, определяем величину

.

Поскольку n = 2, величина k принимает значения 1 и 2. Поэтому вычисляем

,

.

Далее определяем следующие показатели:

Среднее число занятых каналов (или, что тоже самое, среднее число заявок под обслуживанием).

.

Среднее число заявок в очереди

.

Среднее число заявок в системе - как сумма среднего числа заявок в очереди и под обслуживанием

.

Абсолютная пропускная способность

.

Относительная пропускная способность

.

Вероятность обслуживания

P_обс = Q = 0,950.

Вероятность ухода заявки из системы (вероятность необслуживания, отказа)

Р_отк = Р_ух = Р_н = 1 – Р_обс = 1 – 0,95 = 0,05.