10.3. Потоки событий Характер величин и процессов в смо

Для изучения СМО необходимо иметь четкие представления о характере следующих величин:

- непрерывных;

- дискретных;

- детерминированных;

- случайных.

Дискретными называются числа, между которыми существует определенное расстояние.

Всякое дискретное множество счетно, т.е. его элементы, можно пронумеровать целыми числами.

Непрерывными являются числа, расстояние между которыми стремится к нолю.

Дискретным величинам в математике соответствуют целые числа, а непрерывным величинам – действительные числа.

Разница между дискретными и непрерывными величинами хорошо демонстрируется на примере часов.

В электронных часах с цифровым циферблатом информация представляется дискретно – цифрами.

В механических часах со стрелочным циферблатом информация представляется непрерывным образом с помощью положения двух стрелок.

Детерминированной является величина, значение которой в следующий момент времени заранее известно.

Для случайной величины значение в следующий момент времени является заранее неизвестным.

Так, номер очередного года заранее известен, т.е. это детерминированная величина, а температура воздуха на следующий день неизвестна, т.е. это величина случайная.

Изменение некоторой величины в функции времени называется процессом.

При этом аргумент, т.е. информация о времени, может быть непрерывным или дискретным.

Сама функция при этом может быть дискретной, непрерывной, детерминированной или случайной.

В зависимости от характера функции и аргумента могут быть различные типы процессов.

Так изменение номера года в зависимости от времени – это детерминированный процесс с дискретной функцией и непрерывным аргументом.

Изменение температуры воздуха – это случайный процесс, в котором функция и аргумент являются непрерывными величинами.

Компьютер является устройством, в котором аргумент – время – является дискретным, изменяющимся с определенной тактовой частотой, и функция, т.е. вычисляемая величина, также является дискретной, поскольку ограничено количество разрядов.

Т.е. компьютер – это устройство с квантованием (дискретностью) по уровню и их времени.

Процессы в СМО могут также иметь различный характер.

Ниже, в основном, рассматриваются СМО, в которых аргумент – время – является непрерывным, а функция – количество заявок – случайная дискретная величина.

Т.е. далее исследуются СМО, в которых протекают случайные дискретно-непрерывные процессы.

Смо с детерминированными потоками

Анализ СМО с детерминированными потоками позволяют лучше понять процессы функционирования СМО со случайными потоками.

Рассматривается СМО, в которой один источник требований и один канал обслуживания.

Относительно потока требований и его обслуживания делаются следующие предположения.

1. Входящий поток требований является детерминированным (регулярным). Это означает, что требования поступают через одинаковый интервал времени длиной taединиц.

2. Обслуживание построено таким образом, что длительность обслуживания является постоянной величиной, равной tвединиц. Как только заканчивается обслуживание одного требования, канал переходит к обслуживанию следующего.

3. Дисциплина очереди типа ''первым пришёл – первым обслужен'', т. е. ожидающие требования образуют очередь и когда канал освобождается, на обслуживание поступает требование, которое является первым в очереди.

Отметим, что количество требований находящихся в системе, принято определять, как общее число требований, находящихся на обслуживании и ожидающих в очереди.

Рассматриваемая система имеет обозначение D/D/1/R= ∞.

Схема СМО показана на рис.10.10.

Рис. 10.10.Схема модели одноканальной СМО с детерминированными потоками

Интенсивность входящего потока , а интенсивность обслуживания.

Поведение системы зависит от того, каково соотношение между taиtви соответственно между λ и µ.

Возможны три случая.

1. tв>ta, (µ<λ). Это означает, что интенсивность обслуживания меньше, чем скорость поступления требований, т. е. требования обслуживаются и покидают систему медленнее, чем пребывают. Ясно, что в этом случае должна образовываться очередь, и она будет неопределенно вырастать.

2. tв=ta(µ=λ). Если в очереди нет требований, то первое поступившее требование сразу начинает обслуживаться. Его обслуживание закончится в тот же самый момент, в который поступит второе требование, и, следовательно, не будет ожидающих требований.

Если первоначально есть очередь, то её длина, (т. е. число требований, ожидающих обслуживания, плюс число обслуживаемых) будет оставаться постоянной.

3. tв<ta(µ>λ), т. е. интенсивность обслуживания больше, чем интенсивность поступления требований. Это означает, что если есть очередь, то её длина будет сокращаться.

Пример.Предположим, чтоtв = 1мин,ta = 4мин. Количество требований в системеr= 4. Для обслуживания четырех требований необходимо времяto=tв ∙r= 1 ∙ 4 = 4 мин. В течение этого времениtoпоступает и становится в очередь ещё одно, пятое требование, обслуживание которого заканчивается через 5 минут после начала работы системы. Это время есть время переходного процесса в системе. После этого наступает установившийся режим, в котором требования во входящем и выходящем потоках следуют друг за другом с интерваломta.

Процесс, который образуют обслуженные заявки в функции времени, показан на рис.10.11.

Рис. 10.11.Процесс обслуживания в СМО с детерминированными потоками