Обозначения моделей смо

Для сокращенного наименования моделей СМО Д. Г. Кендалл предложил использовать обозначения вида A/B/n/R, где

А – указывает характер входящего потока;

В – характер потока обслуживания;

n– число каналов;

R– предельное число заявок в очереди или в системе.

Типы распределений обозначаются следующим образом:

М – показательное распределение для количества заявок, экспоненциальное для времени обслуживания, т. е. поток является простейшим, марковским;

Еr – эрланговское распределение порядка r;

D– детерминированный или регулярный поток, например, с постоянным временем обслуживания;

Н_k– гиперэкспоненциальное распределение сkсоставляющими;

G– произвольное распределение.

Часто четвёртую позицию опускают. Таким образом, запись в виде M/G/1 означает одноканальную СМО с простейшим входящим потоком и произвольным (точнее, не конкретизируемым) распределением временем обслуживания.

Многоканальная СМО Эрланга имеет обозначение M/M/n, т.е. это СМО с простейшим входящим потоком, простейшим потоком обслуживания иnканалами.

СМО типа M/D/n– это система с простейшим входящим потоком, детерминированным обслуживанием иnканалами.

2. Классификация СМО

Реальные СМО характеризуются большим количеством разнообразных признаков. Исследователь СМО должен уметь выделить основные признаки, проанализировать их и в результате анализа выбрать соответствующую математическую модель СМО. С использованием выбранной модели исследователь решает поставленные задачи.

Рассмотрим классификацию СМО по различным признакам.

1. По степени сложности структуры СМО (достаточно условно) разделяются на две большие категории:

• простые;

• сложные.

Простая СМО – система однофазная, разомкнутая, с одним входящим потоком.

Примерами простых СМО являются – парикмахерские, аптеки, бары, станции технического обслуживания, автомойки, бензозаправочные станции, ремонтные мастерские различных типов и т. п.

К сложным СМО относятся:

• СМО со многими входящими потоками;

• многофазные СМО;

• замкнутые;

• системы, имеющие в своем составе несколько простых СМО.

Примерами сложных СМО являются санаторно-курортные комплексы, комплексы по обслуживанию туристов, железнодорожные вокзалы, аэропорты, морские порты, крупные универсамы и универмаги и т. п.

2. В зависимости от характеристик источника заявок СМО разделяются на системы:

• с одним источником требований (поликлиника обслуживает только жителей одного района);

• с несколькими источниками требований (поликлиника обслуживает по ряду заболеваний также жителей других районов);

• разомкнутые (открытые), когда источник требований находится вне системы (клиенты парикмахерских, аптек и т. п.), поток заявок в этих системах неограничен;

• замкнутая, когда источник требований находится в самой системе.

В замкнутых СМО заявки могут возвращаться в систему, и их поток ограничен. Примерами являются: мойка посуды в столовых; ремонт станков на заводе.

3. В зависимости от характеристик потоков

   1. В зависимости от количества потоков:

• с одним потоком;

• с несколькими потоками.

1. В зависимости от степени случайности потока:

• с детерминированным потоком;

• со случайным потоком.

1. Случайные потоки могут быть:

• стационарными;

• нестационарными;

• с последействием;

• без последействий;

• ординарными;

• неординарными.

1. Выделяют случайные потоки следующих типов:

• простейший (пуассоновский) поток;

• поток Пальма;

• потоки Эрланга.

1. По количеству одновременно поступающих заявок:

• с одиночными заявками;

• с групповыми заявками.

Примеры: покупка одного, двух или сразу нескольких билетов в кассе, поступление клиентов в отель поодиночке, или семьёй из двух, трех и более человек.

4. В зависимости от наличия накопителя заявок:

• без накопителя;

• с накопителем.

Примеры СМО с накопителем: почта, телеграф – письма, телеграммы накапливаются в накопителе и затем разносятся почтальоном; письма накапливаются в почтовых ящиках и затем отвозятся на почту; система уборки мусора; компьютер с буферной памятью, в которой накапливается информация для обработки.

5. По характеру очереди СМО разделяются на три класса:

5.1. СМО с отказами (без очереди, с нулевым ожиданием, явными потерями).

В этих системах заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все каналы заняты, получает ''отказ'' и покидает СМО. Чтобы эта заявка была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО, и рассматривается при этом как заявка, поступившая впервые. Примерами СМО с отказами является работа системы междугородней связи. Короткие гудки после набора 8-ки означают, что все каналы заняты. Заявка получает отказ и необходимо повторно набрать этот номер.

5.2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или неограниченной очередью).

В таких системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет её на обслуживание. Каждая поступившая заявка, в конце концов, будет обслужена.

Примеры СМО с ожиданием – очереди к продавцу или в кассу, очереди к врачу и т. п.

Если обычные телефонные справочные (например, служба 09) работает как СМО с отказами, то телефонные справочные вокзалов в Москве представляют собой СМО с ожиданием. Если все операторы заняты, то к Вам через определенные интервалы времени поступают сигналы: ''ждите ответа'', …''ждите ответа''.

5.3. СМО с ограниченным ожиданием (смешанного типа).

В таких системах на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения. Для практики наибольший интерес представляют собой именно системы смешанного типа.

5.3.1. СМО с ограничением на время ожидания (СМО с нетерпеливыми заявками). Ограничение ожидания может касаться либо времени пребывания заявки в очереди, либо общего времени пребывания заявки в системе (т.е. суммарного времени пребывания заявки в очереди и под обслуживанием).

Примерами СМО с ограничением на время ожидания являются уборка и хранение плодоовощной продукции, торговля продовольственными (например, молочными) товарами, работа ресторанов и кафе с ограничением на время годности готовых блюд и т.п.

Практически любые продовольственные товары имеют определенный срок годности, определяющий предельное время ожидания в употреблении этого товара.

5.3.2. СМО с ограничением на длину очереди.

Примерами являются парковки автомобилей, склады, хранилища, холодильные камеры и т.п.

6. По правилам (дисциплинам) обслуживания очереди:

   1. Без приоритета

6.1.1. общая очередь, в которой заявки обслуживаются по мере поступления, или иначе, по правилу ''первым пришёл – первым обслужен'';

6.1.2. по правилу ''последний пришёл – первым обслужен'' (так обслуживаются вагоны товарного состава, загнанного в тупик);

6.1.3. отдельные очереди по определенным каналам;

Так в парикмахерской может быть общая очередь и, кроме того, отдельные очереди к определенным мастерам.

6.1.4. заявки принимаются в случайном порядке.

1. С приоритетом:

• абсолютным (контрольные акции правоохранительных служб);

• относительным (в парикмахерской по записи - без очереди);

• специальным (инкассация денег в магазинах).

6. В зависимости от характеристик каналов обслуживания

7.1. По числу каналов:

• одноканальные;

• многоканальные.

7.2. В зависимости от степени однородности каналов:

• с однородными каналами обслуживания (АТС, магазины, аптеки и т.п.);

• с неоднородными каналами (так в бою используются огневые средства: винтовка, гранатомет, пулемет, миномёт и т.д.).

7.3. В зависимости от характера взаимопомощи между каналами:

• без взаимопомощи;

• с взаимопомощью.

СМО с взаимопомощью разделяют на:

7.3.1. системы с ''равномерной'' взаимопомощью между каналами;

7.3.2. системы с взаимопомощью типа ''все как один''.

В случае ''равномерной'' взаимопомощи система работает следующим образом. Если заявка поступает в СМО, когда все nканалов свободны, то всеnканалов приступают к ее обслуживанию. Если следующая заявка приходит в момент, когда всеnканалов заняты обслуживанием предыдущей заявки, то часть каналов переключается на её обслуживание. Если поступает третья заявка, то снова часть каналов переключается на её обслуживание, и так до тех пор, пока каждая заявка не окажется под обслуживанием только одного канала. Заявка, пришедшая в момент, когда каждый канал занят обслуживанием одной заявки, получает отказ и покидает СМО.

В системах с взаимопомощью типа ''все как один'' все nканалов обслуживают поступившую заявку до момента завершения обслуживания.

Пример. Транспортная фирма, имеющая 5 автомобилей, принимает заявки по перевозу урожая. Фирма может работать двояким образом.

В первом случае при поступлении заявки все 5 автомобилей работают до тех пор, пока не выполнят первый заказ. Следующие заявки не обслуживаются. Таким образом, реализуется схема ''все как один''.

Во втором случае первую заявку первоначально обслуживают все 5 автомобилей. Как только поступает следующая заявка, часть автомобилей переключается на ее обслуживание, и до тех пор, пока каждая заявка не будет обслуживаться только одним автомобилем. Если поступает очередная заявка, она получает отказ. Таким образом, реализуется схема ''равномерной'' взаимопомощи.

7.4. По правилам загрузки каналов:

• с загрузкой по мере освобождения;

• с загрузкой в порядке номеров каналов;

• с загрузкой случайным образом.

7.5. По количеству фаз обслуживания:

• однофазные (стрижка в парикмахерской);

• многофазные (причёска, а затем маникюр в парикмахерской).

Другие примеры многофазных систем:

• покупка товаров последовательно в молочном, гастрономическом и бакалейном отделах гастронома;

• столовая самообслуживания – последовательно первое, второе и третье блюдо, затем – кассир;

• междугородный телефонный разговор – сначала набор 8-ки, затем кода города и номера абонемента.

Многофазные СМО являются системами с последовательно расположенными разнотипными каналами.

7.6. В зависимости от характера расположения каналов:

• с параллельными каналами (несколько продавцов в одном магазине);

• с последовательным расположением каналов.

Системы с последовательным расположением каналов отличаются от многофазных систем тем, что они состоят из однотипных каналов.

Примером последовательного обслуживания является последовательный обход однотипных магазинов, павильонов (парфюмерных, канцелярских) в поисках определенного товара.

7.7. Время обслуживания каналом может быть:

• неслучайное;

• случайное.

В последнем случае возможны следующие законы распределения времени обслуживания:

— экспоненциальный;

— закон Эрланга;

— ряд других законов.

7.8. В зависимости от ограничения количества каналов:

• с ограниченным числом каналов;

• с бесконечно большим числом одинаковых каналов.

В последнем случае примером является уборка урожая большим количеством уборочной техники (комбайнов, тракторов).

7.9. В зависимости от возможности ремонта и восстановления каналов:

• с резервными каналами;

• с запасными блоками;

• с возможностью ремонта каналов.

7.10. По степени надежности каналов:

• с надежными каналами;

• с ненадежными каналами.

В первом случае каналы являются более дорогостоящими, чем во втором случае, но их требуется меньшее количество. Так солдат – контрактник обходится дороже, чем призывник, но контрактная армия существенно меньше и эффективнее обычной.