Общие формулы решения системы алгебраических уравнений Колмогорова для схемы ''рождения и гибели''

После этапа составления системы алгебраических уравнений следует этап их решения.

Так, для, одноканальной СМО с интенсивностью входящего потока λ = λ₀₁и интенсивностью обслуживания µ = λ₁₀ первые два уравнения одинаковы и могут быть записаны в виде:

P₀∙λ=P₁∙µ .

Из нормировочного условия

P₀+P₁=1

имеем, что P₁=1–P₀.

Подставляя P₁в первое уравнение, получаем:

P₀ ∙ λ = (1–P₀) ∙ µ = µ –P₀ ∙ µ

или

P₀(λ+µ)=µ,

откуда следует, что

. (10.25)

Аналогичным образом находим, что

. (10.26)

С ростом сложности СМО, с увеличением количества уравнений, возрастает и сложность решения.

Однако, для схемы ''рождения и гибели'' нет необходимости решать систему алгебраических уравнений. Для этой схемы имеются общие формулы, позволяющие вычислять вероятности состояний. Получим эти формулы.

Размеченный граф состояний для схемы ''рождения-гибели'' показан на рис.10.38.

Обозначим интенсивности процесса рождения через λ_i, а интенсивности процессов гибели через µ_i , гдеiпринимает значение от 0 доn-1

Рис. 10.38.Граф состояний для схемы «рождения-гибели»

Пользуясь указанным выше правилом, составим уравнения для каждого состояния.

Для состояния Soимеем:

λ₀P₀= µ₀P₁

Для состояния S1

(λ₁+µ₀) P₁ = λ₀ P₀ + µ₁ P₂.

Преобразуем полученное уравнение с учётом предыдущего уравнения для состояния So

(λ₁+µ₀) P₁ = µ₀ P1 + µ₁ P₂

В результате имеем

λ₁ P₁ = µ₁ P2.

Далее совершенно аналогично получаем

λ2 P2 = µ₂ P₃

Таким образом, общая формула имеет вид

λ_k-1 P_k-1= µ_k-1 P_k,

где kпринимает все значения от 1 доn.

Итак предельные вероятности удовлетворяют уравнениям

λ₀ P₀ = µ₀ P₁

λ₁ P₁ = µ₁ P₂

-----------------

λ_к-1 P_к-1 = µ_к-1 P_k

-----------------

λ_n-1  P_n-1 = µ_n-1  P_n

P₀ + P₁ + P2 + … +P_n = 1

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим P₁черезP₀

.

Из второго с учетом первого, получим

.

Из третьего с учётом второго, находим

.

Для вероятности P_nимеем

.

Таким образом, вероятности Р1,P2,…,P_nвыражаются через вероятностьP₀.

Подставляем эти выражения в нормировочное условие. Вынося за скобку P₀, получаем

.

Отсюда получаем выражение для Po

.

Полученные соотношения можно представить в более компактной форме. Обозначим сомножители, представляющие отношение произведений интенсивностей через α_k, где

, k=1,2,..,n.

Тогда P_k =α_k P₀.

Величина P₀=.

Если принять, что

(10.27)

то тогда справедливы следующие соотношения

P_k =α_k P₀,k=1,2,..,n. (10.28)

P₀=,. (10.29)

Рассмотрим применение полученных формул, определяющих решение системы алгебраических уравнений.