- •В.М.Лазебник экономическая кибернетика
- •Содержание
- •Введение
- •Раздел I
- •Структура кибернетики
- •Принципы построения кибернетических систем различных прикладных направлений
- •1.2. Экономическая кибернетика Предмет, цели и задачи курса
- •Структура и состав экономической кибернетики
- •История кибернетики и информационных наук
- •1.3. Кибернетические системы Система и ее основные характеристики
- •Классификация систем
- •Целостность, эмерджентность и синергизм
- •Контрольные вопросы и задания к главе 1 «Кибернетика и кибернетические системы»
- •Глава 2. Моделирование
- •2.1. Модели и моделирование
- •Основные схемы процесса моделирования
- •Классификация моделей
- •История моделирования Появление моделей относится к глубокой древности, и восходит по времени к бронзовому веку (XV-XX в.В. До н. Э.).
- •Совместное использование моделей различных типов
- •2.2. Последовательность разработки и использования математических моделей Процесс моделирования
- •6. Разработка программы, реализующей алгоритм модели на компьютере.
- •Контрольные вопросы и задания к главе 2
- •Реализация управления
- •Разомкнутые системы управления
- •Внешние и внутренние возмущения
- •Анализ свойств разомкнутой системы управления
- •3.2. Замкнутые системы управления
- •Коэффициенты передачи и передаточные функции замкнутой системы управления
- •Анализ свойств замкнутой системы управления
- •Выводы:
- •Типы обратных связей и сферы их применения Обратные связи могут быть:
- •Структурная схема и процессы в системе отрицательной обратной связи показаны на рис.3.6
- •3.3. Классификация систем управления и виды задач управления Классификация систем управления
- •Виды задач управления
- •Понятие гомеостазиса
- •3.4. Закон необходимого разнообразия и его следствия для систем управления Энтропия систем и закон необходимого разнообразия
- •Свойства систем управления, основанные на законе необходимого разнообразия
- •3.5. Управление сложными системами Иерархические системы управления
- •Централизованное и децентрализованное управление сложными системами
- •Анализ децентрализованных систем управления
- •Контрольные вопросы и задания к главе 3 «Управление»
- •Глава 4. Информация
- •4.1. Основные категории информации и ее классификация Определение понятия информации
- •Основные категории информации – данные и знания
- •Основные свойства информации
- •Виды информации
- •Основные требования, предъявляемые к качеству информации
- •Классификация информации
- •4.2. Экономическая информация и экономическая семиотика Экономическая информация
- •Экономическая семиотика
- •Основные элементы системы передачи информации
- •4.3. Измерение количества информации Основные подходы к измерению количества информации
- •Объемный метод измерения количества информации
- •Энтропийный подход к измерению количества информации
- •Вопрос 2: Число х больше шести?
- •Вопрос 3: Число х меньше шести?
- •Количество информации, получаемое от отдельного сообщения
- •Семантический подход к определению количества информации
- •4.4. Ценность информации Определение ценности информации
- •Человек и информация
- •Бытовые – искажение информации в отчетах, в докладах начальству, в отношениях мужчины и женщины, и т.П.
- •4.5. Кодирование информации Кодирование
- •Криптография
- •Десятичное кодирование информации
- •Двоичное кодирование информации
- •Избыточность информации
- •Контрольные вопросы и задания к главе 4 «Информация»
- •Глава 5. Моделирование экономических систем
- •5.1. Системные свойства экономики Основные системные свойства экономики
- •Структуры и модели рыночной экономики
- •5.2. Моделирование и принятие решений Принятие решений
- •Методы обоснования решений
- •Количественные методы позволяют установить насколько один результат лучше другого.
- •5.3. Критерии качества и критерии принятия решений
- •Требования, предъявляемые к критериям качества
- •Классификация и формы критериев качества Классификация критериев качества
- •Математические формы критериев качества
- •Статистические задачи
- •5.4. Примеры математических моделей экономических систем
- •Модель оценки экономической эффективности системы массового обслуживания
- •Часть 1.Модель определения характеристик смо.
- •Часть 2.Модель определения экономической эффективности смо.
- •Модели динамических систем Модель динамического звена первого порядка
- •Модель динамического звена второго порядка
- •Модель экономического роста
- •Модели финансовых операций Первая модель
- •Вторая модель
- •Третья модель
- •Четвертая модель
- •Пятая модель
- •Шестая модель
- •Контрольные вопросы и задания к главе 5 «Моделирование экономических систем»
- •Раздел II
- •Оптимизационные задачи
- •Оптимизация систем массового обслуживания
- •Оптимизация систем управления запасами
- •6.2. Оптимальное распределение ресурсов между несколькими этапами и между несколькими объектами Последовательная (многоэтапная) оптимизация с использованием метода динамического программирования
- •Уравнение оптимальности Беллмана имеет вид
- •Оптимизация маршрута
- •Оптимальное распределение ресурсов между несколькими объектами
- •Приравниваем производные нулю
- •Контрольные вопросы и задания к главе 6 «Оптимизация экономических систем»
- •Глава 7. Наилучшие решения в условиях неопределенности и многокритериальности
- •7.1. Наилучшие решения в условиях частичной и полной неопределенности Игры с «природой»
- •Наилучшие решения в условиях частичной неопределенности
- •Наилучшее решение в условиях полной неопределенности
- •Матрица выигрышей
- •7.2. Наилучшие решения в условиях многокритериальности
- •Контрольные вопросы и задания к главе 7 «Наилучшие решения в условиях неопределенности и многокритериальности»
- •Раздел III искусственный интеллект
- •Глава 8. Системы искусственного интеллекта
- •8.1. Основные положения по построению систем искусственного интеллекта
- •Зависимость типа системы управления от сложности объекта управления и влияния случайных факторов
- •История систем ии
- •Виды неопределенностей
- •8.2. Нечеткие системы
- •Нечеткие системы в управлении
- •Контрольные вопросы и задания к главе 8 «Системы искусственного интеллекта»
- •Глава 9. Нейронные сети, экспертные системы и генетические алгоритмы
- •9.1. Нейронные сети Принципы построения и основные свойства нейронных сетей
- •Представление знаний в нейронных сетях
- •Применение нейронных сетей в экономике
- •Пример решения задачи прогнозирования
- •9.2. Экспертные системы Принципы построения и функционирования экспертных систем
- •Пример применения экспертных систем в экономике и финансах – экспертная система для кредитных операций
- •Представление знаний в экспертных системах
- •9.3. Генетические алгоритмы
- •Контрольные вопросы и задания к главе 9 «Нейронные сети, экспертные системы и генетические алгоритмы»
- •Раздел IV
- •Структурная схема простой смо. Основные обозначения. Характеристики важнейших параметров Структурная схема простой смо
- •Основные обозначения
- •Характеристики важнейших параметров
- •Задачи исследования смо
- •Методология разработки аналитических моделей смо
- •Обозначения моделей смо
- •10.3. Потоки событий Характер величин и процессов в смо
- •Смо с детерминированными потоками
- •Случайные потоки событий
- •10.4. Марковские случайные процессы Графы состояний смо
- •Марковские процессы
- •Стационарный режим динамического процесса
- •Законы распределения, определяющие описание и формирование простейшего потока
- •Закон Пуассона
- •Исходные данные
- •Алгоритм решения задачи
- •Решение
- •Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •Закон равномерной плотности
- •10.5. Уравнения Колмогорова Дифференциальные и алгебраические уравнения Колмогорова
- •Общие формулы решения системы алгебраических уравнений Колмогорова для схемы ''рождения и гибели''
- •10.6. Модель Эрланга Одноканальная смо с отказами
- •Многоканальная смо с отказами
- •10.7. Имитационное моделирование систем массового обслуживания Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Исследование смо с применением метода статистических испытаний
- •Методика и пример формирования простейшего потока
- •Контрольные вопросы и задания к главе 10 «Модели и методы исследования систем массового обслуживания»
- •Глава 11. Анализ и синтез системы массового обслуживания Характеристика задач анализа и синтеза смо
- •Определение вероятностей отказа и обслуживания Основные формулы для смо Эрланга
- •Пример расчетов по формулам Эрланга
- •Построение графиков вероятности отказа и обслуживания на основе расчетных данных
- •Построение графиков вероятностей отказа и обслуживания на основе табличных данных
- •Графики вероятностей отказа
- •Графики вероятностей обслуживания
- •Определение показателей качества смо с отказами
- •Показатели качества обслуживания заявки
- •Показатели качества обслуживания заявки
- •Пример расчета характеристик смо с ожиданием
- •Расчетные параметры:
- •Показатели качества функционирования
- •Показатели качества обслуживания заявки
- •Компьютерные программы и таблицы вероятностей отказа для смо с ограниченным временем ожидания
- •Сопоставление смо с отказами и смо с ожиданием
- •11.3. Методика оценки экономической эффективности смо Постановка задачи оценки экономической эффективности
- •Уравнения блока оценки экономической эффективности
- •Уравнения полной модели оценки экономической эффективности смо
- •Модель смо
- •Блок оценки экономической эффективности
- •Вариант №2 кафе «десерт»
- •Определение показателей экономической эффективности смо на момент окупаемости Результаты расчетов
- •Составление итоговой таблицы результатов расчетов по оценке экономической эффективности смо
- •Сопоставление вариантов смо по основным экономическим характеристикам
- •11.5. Синтез системы массового обслуживания и принятие решения об инвестировании Составление таблицы результатов расчетов по оценке экономической эффективности смо
- •Ранжирование вариантов и выводы
- •Определение взаимосвязи параметров смо с экономическими параметрами системы
- •Контрольные вопросы и задания к главе 11 «Анализ и синтез системы массового обслуживания »
- •Приложения п.1. Программа курса «Экономическая кибернетика»
- •Раздел IV. Информация
- •Раздел V. Моделирование
- •Раздел VI. Системы массового обслуживания (смо)
- •Раздел VII. Оптимизация и принятие решений
- •Раздел VII. Искусственный интеллект
- •П.2. Задание на подготовку реферата «Замкнутые системы управления»
- •П.3. Задание на подготовку реферата «Системы массового обслуживания»
- •Часть 1. Определение характеристик смо.
- •Вероятность обслуживания
- •Часть 2. Оценка экономической эффективности смо.
- •Результаты расчетов
- •Ранжирование, анализ вариантов и выводы
- •П.4. Равномерно распределенные случайные числа
- •П 5. Вероятности отказа для смо Эрланга
- •П 6. Компьютерные программы для смо Эрланга п 6.1. Программы на языке Паскаль
- •П.6.3. Программа на языке Visual Basic для расчета экономической эффективности смо
- •П 7. Вероятности отказа для смо с ограниченным временем ожидания
- •П 8. Компьютерная программа для смо с ограниченным временем ожидания
- •Литература
Исследование смо с применением метода статистических испытаний
Рассмотрим следующий пример. В трехканальную СМО с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлением двух последовательных заявок распределено по экспоненциальному закону f(t)=5e-5τ. Время обслуживания является детерминированной величиной.
Длительность обслуживания одной заявки tобс=0,5 мин. Требуется найти методом Монте-Карло математическое ожидание числа обслуженных заявок за времяT=4мин.
Имеем, таким образом, СМО типа M/D/3 с параметрамиn=3, λ =5, µ ==2. Вычисляемый параметр=2,5 эрл.
Исследование СМО типа M/D/3 не может быть выполнено аналитическими методами.
Исследование подобных систем может быть осуществлено только путем имитационного моделирования с применением метода стохастических испытаний.
Аналитическими методами может быть решена задача для марковской СМО типа M/М/3.
Получим решение для системы M/M/3 с применением формул Эрланга.
Вероятность простоя системы
P0=
Вероятность отказа
.
Вероятность обслуживания
Pобс=1 – 0,28=0,72.
Абсолютная пропускная способность в единицу времени
A0 =∙Q= 5 ∙ 0,72 = 3,61/мин.
Число обслуженных заявок за время T= 4 мин
A=A0∙T= 3,6 ∙ 4= 14,4 заявки.
Переходим к решению задачи для СМО типа M/D/3 с использованием методам Монте-Карло.
Процесс и результаты решения представлены в табл.10.6. Столбцы 1-5 показывают процесс формирования простейшего потока. Схема формирования простейшего потока показана выше на рис.10.42.
В столбце 1 табл. 10.6 указан номер поступившей заявки. Момент поступления первой заявки принимается равным нулю (Тi= 0). Моменты поступления заявок указаны в столбце 5.
Процедура формирования простейшего потока состоит в следующем. Генерируются равномерно распределенные случайные числа. Методы генерирования могут быть различными. При использовании компьютера такие числа могут быть получены с помощью программы Excelв результате обращения к встроенной функции СЛУЧ.
При применении алгоритмических языков случайные числа получают в результате обращения к стандартным процедурам RNDM,RNDи т.п.
Может быть использованы выборки чисел из таблицы. Таблица равномерно распределенных случайных чисел дается в приложении П4.
В данном случае выбираются числа, начиная с первого ряда. В таблице они имеют вид: 10; 0.9; 73; и т.п. Во второй столбец таблицы решений числа записываются в виде 0.1; 0.09; 0.73 и т.д. Эти числа обозначены как ri.
Далее осуществляется преобразование равномерно распределенных случайных чисел в числа, распределенные по экспоненциальному закону. Для этого используется метод обратных функции, в соответствии с которым экспоненциально распределенные числаτiполучаются в соответствии с формулой
.
Учитывая, что по условию λ=5, имеем τi= 0,2(–lnri).
Для случайного числа r=0,1 величина (–ln0,1) = 2,3.
Записываем эту величину в столбец 3.
Следовательно, τi= 0,2 ∙ 2,3 = 0,460.
Величина τiзаписывается в столбец 4, где указывается интервал времени между двумя последовательными заявками.
Момент поступления заявки определяется соотношением
Ti=Ti– 1+τi.
Этот момент записывается в столбец 5. Первой поступившей заявки соответствует момент T1=0.
Для второй заявки T2 = 0 + 0,460 = 0,460.
Для третьей заявки имеем i=3,r3=0,09; -lnr3= 2,41;τ3=0,482
T3 = 0,460 + 0,482 = 0,942.
Итак, в 5 –ом столбце представлены случайные числа, образующие простейший поток заявок. Интервалы между ними, записанные в столбце 4, распределены по экспоненциальному закону.
Рассмотрим работу трехканальной СМО, которая обслуживает этот поток при детерминированном времени обслуживания tобс=0,5 мин.
Дисциплина обслуживания – каналы загружаются в порядке номеров. Если все каналы заняты, то заявка получает отказ.
Первая заявка поступила в момент T1=0. Все каналы свободны. Заявка поступает на обслуживание в первый канал.
Момент окончания обслуживания первой заявки Tk1 =T1 +tобс=0 + 0,5 = 0,500.
Таблица 10.6
Номер заявки i |
Случайное число ri |
- lnri |
Время между двумя последовательными заявками τi= 0.2 (-lnri) |
Момент поступления заявки Тi=Ti-1+ τi |
Момент Ti+0.5окончания обслуживания |
Счетчик | |||||
1 |
2 |
3 |
обс.заяв |
отказов | |||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 | ||
1 |
|
|
|
0 |
0,500 |
|
|
1 |
| ||
2 |
0,10 |
2,3 |
0,460 |
0,460 |
|
0,960 |
|
1 |
| ||
3 |
0,09 |
2,41 |
0,482 |
0,942 |
1,442 |
|
|
1 |
| ||
4 |
0,73 |
0,32 |
0,064 |
1,006 |
|
1,506 |
|
1 |
| ||
5 |
0,25 |
1,39 |
0,278 |
1,284 |
|
|
1,784 |
1 |
| ||
6 |
0,33 |
1,11 |
0,222 |
1,506 |
2,006 |
|
|
1 |
| ||
7 |
0,76 |
0,27 |
0,054 |
1,560 |
|
2,060 |
|
1 |
| ||
8 |
0,52 |
0,65 |
0,130 |
1,690 |
|
|
|
|
1 | ||
9 |
0,01 |
4,6 |
0,920 |
2,610 |
3,110 |
|
|
1 |
| ||
10 |
0,35 |
1,05 |
0,210 |
2,820 |
|
3,320 |
|
1 |
| ||
11 |
0,86 |
0,15 |
0,030 |
2,850 |
|
|
3,350 |
1 |
| ||
12 |
0,34 |
1,08 |
0,216 |
3,066 |
|
|
|
|
1 | ||
13 |
0,67 |
0,4 |
0,080 |
3,146 |
3,646 |
|
|
1 |
| ||
14 |
0,35 |
1,05 |
0,210 |
3,356 |
|
3,856 |
|
1 |
| ||
15 |
0,48 |
0,73 |
0,146 |
3,502 |
|
|
4,002 |
|
1 | ||
16 |
0,76 |
0,27 |
0,054 |
3,556 |
|
|
|
|
1 | ||
17 |
0,80 |
0,22 |
0,044 |
3,600 |
|
|
|
|
1 | ||
18 |
0,95 |
0,05 |
0,010 |
3,610 |
|
|
|
|
1 | ||
19 |
0,90 |
0,1 |
0,020 |
3,630 |
|
|
|
|
1 | ||
20 |
0,91 |
0,09 |
0,018 |
3,648 |
4,148 |
|
|
|
1 | ||
21 |
0,17 |
1,77 |
0,354 |
4,002 |
|
|
|
|
1 | ||
|
|
|
|
|
(Стоп) |
|
|
|
Итого |
А1=12 |
8 |
Этот момент времени записывается в столбец 6. В счетчик обслуженных заявок (столбец 9) записывается единица.
При поступлении следующей заявки, по каждому каналу проверяется условие, что время поступления заявки больше времени освобождения канала.
>Tk1, то да1 <Tk1, то нет0 <Tk1, то нет0 <Tk1,то нет0
Ti<Tk2, то нет0Ti>Tk2, то да1Ti<Tk2, то нет0Ti <Tk2, то нет0
<Tk3,то нет0 <Tk3, то нет0 >Tk3, то да1 <Tk3, то нет0
Так для второй заявки время поступления T2=0,460.
Проверяются условия Т2>Tk10,460>0,500НЕТ.
Т2>Tk20,460>0ДА.
Таким образом, в момент поступления второй заявки первый канал занят обслуживанием, поэтому вторая заявка поступает во второй канал и будет им обслужена. В счётчик обслуженных заявок добавляется единица.
Для третьей заявки интервал τ3= 0,482 и Т3 = 0,460 + 0,482 = 0,942.
Проверяется условие T3>Tk10,942>0,500да. Заявка поступает в первый канал. Новое значениеTk1= 0,500 + 0,942 = 1,442. Записывается единица в третью строку девятого столбца.
Для четвертой заявки τ4= 0,064. ВеличинаT4 =T3 + τ4= 0,942 + 0,064 = 1,006. Проверяем условие Т4>Tk11.006>1.442нет
Т4>Tk21.006>0.960да
Заявка поступает во второй канал. Новое значение Tk2=T4 +tобс = 1,006 + 0,500 = 1,506. Единицу записываем в четвертую строку девятого столбца.
Для пятой заявки величина τ5= 0,278, а величина Т5 = Т4 + τ5= 1,006 + 0,278 = 1,284.
Проверяется условие
Т5>Tk11,284>1,442нет
Т5>Tk21,284>1,506нет
Т5>Tk31,284>0да.
Заявка поступает в третий канал, Тk3 = 1,284 + 0,506 = 1,784.
Для шестой заявки τ6= 0,222 и Т6 = 1,506. Проверяются условия
Т6>Tk11,506>1,442да
Заявка поступает в первый канал. Новое значение Tk1 =T6+ 0,500 = 1,506 + 0,500 = 2,006.
Для седьмой заявки τ7=0,054, и Т7 = 1,506 + 0,054 = 1,560. Проверяются условия
T7>Tk11,560>2,006нет
T7>Tk21,560>1,506да
Заявка поступает во второй канал. Новое значение Tk2 = 1,560 + 0,500 = 2,06.
Для восьмой заявки τ8= 0,130 и Т8 = 1,690. Проверяются условия
T8>Tk11,690>2,006нет
T8>Tk21,690>2,060нет
T8>Tk31,690>1,784нет
Все каналы заняты, заявка получает отказ. Единичка записывается в счётчик отказов.
Дальнейшие расчеты проводятся аналогичным образом. Отметим, что обслуживание 20-ой заявки заканчивается в момент 4,148>4, поэтому эта заявка получает отказ.
Испытание прекращается (в столбце 5 таблицы записывается ''стоп''), если момент поступления заявки Т>4. В данном случае 4,002>4.
Из таблицы находим, что за время равное 4 минутам, поступило 20 заявок.
Из них обслужено в первой серии испытаний A1=12 заявок.
Рассмотренное испытание называют также ''реализацией'', имея в виду реализацию процесса функционирования системы. Результаты испытаний носят характер оценок. Чем больше количество испытаний, тем выше точность оценивания. Считается, что количество реализаций должно быть не менее 30. Каждое новое испытание осуществляется с новой последовательностью случайных чисел. Например, вместо первой строки таблицы равномерно распределенных случайных чисел берется вторая, третья и другие строки, т. е. вместо чисел 0,1; 0,09; 0,73 во второй реализации могут быть взяты числа 0,37; 0,54; 0,20 и т. д.
Предположим, что выполнено ещё пять испытаний, в результате которых получены оценки А2=15; А3=14; A4=12;A5=13 и А6=15.
Тогда, в качестве оценки искомого математического ожидания числа обслуженных заявок принимается среднее значение
.
Это значение достаточно близко к величине, полученной аналитическим методом для СМО типа M/M/3
А=14,4.
Сравнение результатов имитационного моделирования системы типа M/D/3 с результатами аналитического моделирования для СМО типаM/M/3 показывает, что с использованием метода Эрланга могут быть решены задачи характерные для практически любых простых СМО.
Для сложных СМО основным методом исследования является метод статистических испытаний.