Математические формы критериев качества

Детерминированные задачи

1. Линейный скалярный критерий

W = c ∙ x,

где, в частности, x – количество товара,

c – стоимость единицы товара.

2. Линейный аддитивный критерий

W = c₁∙x₁ + c₂∙x₂ + … + с_n∙x_n =  c_i∙x_i,

где коэффициенты с_i могут быть как положительными, так и отрицательными.

3. Аддитивный критерий в общей форме

W = c₁∙f₁(x₁) + c₂∙f₂(x₂) + … + c_n∙f_n(x_n) =  c_i∙f_i(x_i).

Если функция для всех составляющих одинакова, например, f(x)=, тоW=

4. Мультипликативный критерий

W=f₁(x₁) ∙ f₂(x₂) ∙ … ∙ f_n∙x_n = Пf_i(x_i).

С помощью подобного критерия вычисляется эффективность систем массового обслуживания:

W=N ∙ P_обс ∙ S,

где N – количество поступивших заявок;

P_обс – вероятность обслуживания заявок;

S – эффект, полученный от обслуживания одной заявки.

Путем логарифмирования мультипликативный критерий может быть сведен к аддитивному:

.

Такой аддитивный критерий можно использовать вместо мультипликативного при оптимизации. Возможность замены основывается на том, что если при оптимизации заменить исходный критерий другим критерием, связанным с ним монотонным образом, то результат оптимизации не изменится.

5. Квадратичный критерий W = c ∙ x² .

Симметричность, а главное дифференцируемость, привели к широкому использованию этого критерия в задачах оптимизации.

6. Модульный критерий W = c ∙x .

7. Пороговый (ступенчатый) критерий

8. Интегральный критерий

W= ∫ f(x)dx,

в частности, W = ∫ x dx или W = ∫ x² dx.

9. Сумма квадратов ошибки

W =  (x_i – m)² ,

где m – среднее значение.

10. Критерии в виде дельта – функции

W =  (x – x₀),

где

Статистические задачи

Основными критериями в статистических задачах являются:

• Вероятность события W = P(x).

• Среднее значение случайной величины W = m,

где .

• Среднее квадратичное отклонение W =  ,

где  =.

• Коэффициент вариации W = CV,

где СV =.

В двухкритериальных статистических задачах одновременно могут задаваться среднее значение – m и среднее квадратичное отклонение – .

5.4. Примеры математических моделей экономических систем

Деятельность экономической системы, как правило, весьма многогранна и может рассматриваться с различных точек зрения, соответствующих различным аспектам функционирования системы. Этим точкам зрения и аспектам соответствуют различные математические модели. Среди этим моделей можно указать следующие:

- модели оценки экономической эффективности систем массового обслуживания;

- динамические модели;

- модели финансовых операций;

- модели управления запасами;

- оптимизационные модели и т.д. и т.п.

Для реальных систем характерными являются сложность и взаимосвязанность.

Рассматриваемые ниже модели имеют две особенности, - они являются простыми и изолированными.

Модель оценки экономической эффективности системы массового обслуживания

Рассматривается упрощенный вариант модели. Более полная модель представлена в Главе 11.

Модель состоит из двух частей.

Часть 1.Модель определения характеристик смо.

В качестве модели СМО рассматривается модель СМО с отказами (модель Эрланга).

Модель является вероятностной, аналитической. Алгоритм модели включает в себя формулу Эрланга для вероятности отказа

Р_отк, (5.1)

а так же формулы для вероятности обслуживания

Р_обс = 1 – Р_отк ,

и для абсолютной пропускной способности

А =  ∙ Р_обс .

В приведенных формулах

 - интенсивность потока заявок;

 - нагрузка на систему в эрлангах;

n – количество каналов обслуживания.

Величина  представляет собой отношение интенсивности потока заявок  к интенсивности потока обслуживания 

,

где .

Величина – есть среднее время обслуживания.

Пример расчетахарактеристик СМО.

Параметры СМО

n = 3 ;

 = 20 ;

= 0,1 дня ;

 = 10 .

 == 2 эрланга.

В качестве «дня» имеется в виду 8-ми часовой рабочий день.

Вероятность отказа при n = 3 и  = 2 определяется следующим образом

Р_отк =

Вероятность обслуживания

Р_обс = 1 – 0,21 = 0,79 .

Абсолютная пропускная способность

А = 20∙0,79 = 15,8 .

Расчеты показывают, что подобная СМО обслуживает порядка 80% заявок.

Модель позволяет дать рекомендации по определению количества каналов системы и времени обслуживания, удовлетворяющих требованиям к СМО по вероятности обслуживания.