Методика и пример формирования простейшего потока

Практическое формирование (генерирование) простейшего потока основывается именно на том, что интервалы времени между заявками распределены по экспоненциальному закону.

Для генерирования случайных величин, распределенных по некоторому требуемому закону распределения F, используется метод обратного преобразования (или метод обратных функций).

Метод включает в себя два этапа.

На первом этапе с помощью генератора равномерно распределенных случайных чисел получают случайное число r_i, принадлежащее интервалу чисел от нуля до единицы.

На втором этапе осуществляется преобразование равномерно распределенных чисел r_iв числа τ_i, распределенные по требуемому закону. Это преобразование осуществляется на основе соотношения

τ_i =F^-1(r_i),

где F^-1-функция обратная по отношению кF.

Рассмотрим процедуру генерирования простейшего потока, как последовательности чисел, распределенных по экспоненциальному закону.

Для показательного закона плотность распределения

f(t)= λe^-λt, τ >0,

а закон распределения

.

В соответствии с методом обратных функций случайную величину υ_iприравниваем функции распределенияF(τ)=1-e^-λtи полученное уравнение υ_i=1-e^-λtрешаем относительно τ_i, т.е. находится τ_i=F^-1(υ_i).

Логарифмируя уравнение

e^-λτi= 1- υ_i,

получаем

-λτi=ln(1- υ_i)

Откуда находим, что

τ_i= -(1/ λ)ln(1- υ_i)

Введем величину ri= 1- υ_i.

Величина r_iтакже как и υ_iпредставляет собой равномерно распределенную случайную величину. Поэтому правомерным является использование соотношения

.

Пример:

Пусть λ =5. Тогда . Если случайное числоr= 0,1, то

ln0,1 = –2,3, или [–ln0,1] = 2,3.

Следовательно τ = 0,2 2,3 = 0,460.

Последовательность чисел τ_iобразует простейший поток, прореживая который можно получать потоки Эрланга любого порядка.

Если статистически обработать данные, представленные в столбце 5 табл.11.6, то для количества заявок поступающих на интервале в одну минуту получим результаты, приведенные в столбце 6. Эти результаты показывают, что в первую минуту поступило 3 заявки, во вторую – 5, в третью – 3, и в четвертую – 9.

Среднее значение количества заявок, поступивших за четыре минуты равно 5. Это соответствует при t=1 величине λt= 5, т. е. пуассоновскому распределению со средним значением равным пяти. График величиныKв функции времени показан на рис.10.44.

Kкол-во заявок

10 за 1 мин. 9

8

6 λt=a=5 5

4 3 3

2

1 2 3 4 t

Рис. 10.44.График количества заявок, поступивших в единицу времени

Осуществим далее статистическую обработку интервалов времени между заявками, т. е. данных, представленных в столбце 4 табл.10.6.

Теоретическая характеристика – плотность вероятности для экспоненциального распределения при λ =5, записывается в виде

f(t) = 5e^-5t .

Значения этой функции представлены в табл. 10.7.

Таблица 10.7

t	0	0,1	0,2	0,4	0,6
f(t)	5	3,03	1,84	0,676	0,25

Вид функции показан на рис.10.45.

f(t)

5

4

3

2

1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6t

Рис. 10.45.Плотность вероятности для экспоненциального распределения при λ =5

Получим теоретические значения вероятности попадания случайной величины в интервал Δt=0,1.

Эти вероятности определяются в виде значения определенного интеграла на интервале от а до а+Δt.

.

Значение вероятности Pτна интервале 0–0,1 равно

Значения Pτдля других интервалов приведены в табл.10.8.

Таблица 10.8

интервал	0-0,1	0,1-0,2	0,2-0,3	0,3-0,4
Pτ	0,4	0,24	0,145	0,09

Результаты статистической обработки значений 20-ти интервалов с первого по 21-ый представлены в столбце 7 табл.10.10. Вычисленные на их основе значения частот

,

где m– количество интервалов между заявками, попадающими в заданный интервал;

N– общее количество интервалов между заявками.

Так для интервала 0–0,1 имеем

m= 9,N= 20 и.

Частоты Рэ представлены в табл.10.9.

Таблица 10.9

Интервал	0-0,1	0,1-0,2	0,2-0,3	0,3-0,4	0,4-0,5	0,5-0,6	0,6-0,7	0,7-0,8	0,8-0,9	0,9-1,0
Количество заявок	9	2	5	1	0	0	0	0	0	1
Частота	0,45	0,1	0,25	0,05	0	0	0	0	0	0,05

Значение вероятностей попадания в интервал Рт и частот Рэ показаны на рис.10.46.

Таблица 10.10

Номер заявки i	Случайное число ri	- lnri	Время между двумя последовательными заявками τi= 0.2 (-lnri)	Момент поступления заявки Тi=Ti-1+ τi	Количество заявок на интервале в 1 мин, К	ИНТЕРВАЛЫ
						0-0,1	0,1-0,2	0,2-0,3	0,3-0,4	0,4-0,5	0,9-10
1	2	3	4	5	6	7
1				0
2	0,10		0,460	0,460	3					1
3	0,09		0,482	0,942						2
4	0,73		0,064	1,006		1
5	0,25		0,278	1,284				1
6	0,33		0,222	1,506	5			2
7	0,76		0,054	1,560		2
8	0,52		0,130	1,690			1
9	0,01		0,920	2,610							1
10	0,35		0,210	2,820	3			3
11	0,86		0,030	2,850		3
12	0,34		0,216	3,066				4
13	0,67		0,080	3,146		4
14	0,35		0,210	3,356				5
15	0,48		0,146	3,502			2
16	0,76		0,054	3,556	9	5
17	0,80		0,044	3,600		6
18	0,95		0,010	3,610		7
19	0,90		0,020	3,630		8
20	0,91		0,018	3,648		9
21	0,17		0,354	4,002					1
				Итого		9	2	5	1	2	1

Рτ, Рэ Рэ

Рт

0.4

0.3

0.2

0.1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 t

Рис. 10.46.Сравнение теоретических (Рτ) и экспериментальных данных (Рэ)

Сравнение частот Рэ с вероятностями Рτпоказывает их близость.

Результаты статистической обработки свидетельствуют о том, что сформированный случайный процесс представляет собой одну из возможных реализаций простейшего потока.