Наилучшее решение в условиях полной неопределенности

В случае, если вероятности состояний ''природы'' неизвестны, имеем так называемую игру с природой в условиях полной неопределенности.

В такой игре для определения наилучшего решения используются следующие критерии.

• максимаксный критерий (критерий ''крайнего оптимизма'');

• максиминный критерий Вальда (критерий ''крайнего пессимизма'');

• критерий Гурвица (критерий ''пессимизма-оптимизма'');

• критерий минимаксного риска Сэвиджа.

Рассмотрим указанные критерии на примере тех же матриц выигрышей и рисков, которые использовались в играх с частичной неопределенностью.

Матрица выигрышей

i j	1	2	3	4
1	1	4	5	9
2	3	8	4	3
3	4	6	6	2

Матрица рисков

i j	1	2	3	4
1	3	4	1	0
2	1	0	2	6
3	0	2	0	7

Критерий максимакса определяет стратегию, которая максимизирует максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Математически критерий записывается в виде

.

Для приведенной матрицы выигрышей имеем:

i		W
1	9	9
2	8
3	6

Наилучшим решением является D₁, при котором достигается максимальный выигрыш, равный 9.

В экономике нередки ситуации, требующие применения такого критерия, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом ''или пан, или пропал''.

Максиминный критерий Вальда математически записывается в виде

.

Для приведенной матрицы выигрышей имеем:

i		W
1	1
2	3	3
3	2

Наилучшим решением является D₂, при котором выигрыш равен 3.

Стратегию, соответствующую критерию Вальда, называют максиминной. В случае использования этой стратегии при любом состоянии природы результат не может быть хуже величины W, являющейся низшей ценой игры. В силу этого принцип максимина называют также принципом наибольшего гарантированного результата. Максиминная оценка является единственной абсолютно надежной оценкой при принятии решения в условиях неопределенности. Она позволяет получить максимальный выигрыш в наихудших условиях.

Критерий Гурвицаисходит из того, что в игре с природой разумнее придерживаться некоторой промежуточной позиции, граница которой регулируется показателем пессимизма-оптимизма.

В соответствии с этим критерием компромиссное решение определяется как максимум линейной комбинации минимального и максимального выигрыша, т.е.

W = [ α W_ij + (1 - α) W_ij] .

Коэффициент αназывают степенью оптимизма. Его значение находится в диапазоне от 0 до 1. Приα=1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда, а приα= 0 – в максимаксный критерий, в соответствии с которым рекомендуется идти ''ва-банк''.

Предположим, что выбрано значение α= 0,5. Тогда имеем следующие результаты.

i	0,5(Wij + Wij)	W
1	5
2	5,5	5,5
3	4

Наилучшим является стратегия D₂, при которой обеспечивается выигрыш, равный 5,5.

Критерий минимаксного риска Сэвиджаматематически записывается следующим образом

.

Выбор стратегии в этом случае аналогичен выбору стратегии по критерию Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей, а матрицей рисков.

Для приведенной матрицы рисков имеем:

i	max Rij j	W
1	4	4
2	6
3	7

Наилучшей, как и при максиминном критерии, является стратегия D₁, при которой обеспечивается риск, равный 4.

Выбор критерия в условиях полной неопределенности всегда условен, субъективен. И, тем не менее, представленные математические методы являются достаточно полезными.

Прежде всего, они позволяют привести игру с природой к матричной форме. Использование представленных критериев позволяет заменить простое лицезрение матрицы выигрышей (или рисков) последовательным численным анализом ситуации с разных точек зрения, рассмотреть различные рекомендации и остановиться на чем-то определенном.

Теория статистических решений не дает окончательных, непререкаемых рекомендаций, но она помогает советом.

Если рекомендации, вытекающие из различных критериев, совпадают – тем лучше, значит, можно выбрать рекомендуемое решение.

Если рекомендации противоречат друг другу, то нужно проанализировать рекомендации, уточнить свою точку зрения и сделать окончательный выбор. Субъективизм при этом неизбежен.

Субъективизм в значительной мере обусловлен тем, что отсутствует информация. Поэтому главная задача – это получение дополнительной информации, если такая возможность существует.

Одна из основных задач теории статистических решений – это планирование эксперимента. Основной принцип теории планирования эксперимента состоит в том, что любое заранее принятое решение должно пересматриваться с учётом полученной дополнительной информации.

Эксперимент может быть как ''идеальным'', полностью выясняющем состояние природы, так и неидеальные, где в ходе эксперимента вероятности состояний постепенно уточняются.

Каждый эксперимент требует затрат – за дополнительную информацию нужно платить. И возникает вопрос о ценности дополнительной информации, т.е. вопрос о том, окупаются ли затраты возрастанием эффективности.

Оказывается ''идеальный'' эксперимент имеет смысл только в случае, если его стоимость меньше, чем минимальный средний риск.

Рассмотрим примеры применения критериев Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Пример игры «с природой».

Матрица выигрышей

j i	1	2	3	Критерий Вальда Wij	Критерий Гурвица
					Wij	α∙Wij(1 -α) Wij
1	20	30	15	15	30	21
2	75	20	35	20	75	42
3	25	80	25	25	80	47
4	85	5	45	5	85	37

Индексу jсоответствуют ситуации 1, 2 и 3. Индексуi– стратегии 1, 2, 3 и 4.

Попробуйте, посмотрев на матрицу, указать, какой стратегией воспользоваться. Это не просто, несмотря на малый размер матрицы.

Воспользуемся для помощи критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица, причем

в последующем случае возьмем α=0.6.

1. Критерий Вальда. Выбираем ту строку, в которой минимальное значения в строке максимально. Это строка 3.

2. Критерий Гурвица (при α=0.6). Максимальное значение (47) соответствует стратегии 3.

3. Критерий Сэвиджа – переходим к матрице рисков, приведенной в таблице.

Матрица рисков

i j j	1	2	3	Критерий Сэвиджа
				Rij	Rij
1	65	50	30	65
2	10	60	10	60	60
3	60	0	20	60	60
4	0	75	0	75

Минимальное значение (60) соответствует стратегиям 2 и 3. Значит, обе они оптимальны по критерию Сэвиджа.

Итак, в данном случае по всем трем критериям рекомендуется стратегия 3.

Рассмотрим пример, в котором разным критериям соответствуют разные рекомендации.

Матрица выигрышей

j i	1	2	3	4	Критерий Вальда Wij	Критерий Гурвица
						Wij	α∙Wij(1 -α) Wij
1	19	30	41	49	19	49	31
2	51	38	10	20	10	51	26
3	73	18	81	11	11	81	38

Матрица рисков

j i	1	2	3	4	Критерий Сэвиджа
					Rij	Rij
1	54	8	40	0	54
2	22	0	71	29	71
3	0	20	0	38	38	38

По критерию Вальда оптимальной является стратегия 1. По критерию Гурвица и Сэвиджа – 3. Рассуждение в этом случае может быть следующее.

Если мы боимся малого выигрыша «11», который соответствует стратегии 3, то можно выбрать стратегию 1, которую рекомендует критерий осторожности Вальда. В этом случае мы гарантируем себе выигрыш ''19'', а может быть и больше.

Если же мы не крайние пессимисты, то можно остановиться на стратегии 3, рекомендуемой двумя из трех критериев.