10.6. Модель Эрланга Одноканальная смо с отказами

Размеченный граф состояний для этой системы имеет вид, показанный на рис.10.39.

Рис. 10.39.Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Согласно формулам, определяющим решение системы алгебраических уравнений Колмогорова для схемы ''рождения и гибели'', при n=1, имеем,P₁=α₁P₀. Индексkпринимает значенияk=0 иk=1 и, следовательно:

P₀=

P₁=α₁P₀

Согласно соотношению (11.27), имеем

В результате, получаем

α₀=1,

,

,

.

Если разделить числитель и знаменатель на µ, то с учётом того, что , имеем

; (10.30)

. (10.31)

Ранее были представлены функции P₀(t) иP1(t), определяющие переходный процесс в одноканальной СМО.

Функции Po(t) иP1(t) экспоненциально с постоянной времениприближаются к своим предельным состояниями.

Переходный процесс в системе заканчивается за время, равное примерно 3Т.

С учётом того, что и, имеем также формулы

;

.

Характеристики функционирования одноканальной СМО с отказами определяются следующим образом

1. Вероятность того, что поступившая заявка будет принята на обслуживание равна вероятности того, что канал свободен, т.е.

.

2. Вероятность отказа заявки в обслуживании равна вероятности занятости канала, т.е.

.

1. Относительная пропускная способность

Q=Pобс.

2. Абсолютная пропускная способность

.

Предельная величина А в функции λ равна

.

3. Среднее время пребывания заявки в системе

.

Примерами одноканальных СМО с отказами являются

• стол заказов в магазине;

• диспетчерская автотранспортного предприятия;

• контора склада;

• офис коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.

Задачи

Задача №1.

Техническая формулировка задачи.

На одну телефонную линию поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ =1 вызов в минуту. Производительность телефонной линии µ =0.5 вызовов в минуту. Поток обслуживаний – простейший. Вызов, поступивший в момент занятости телефонной линии, получает отказ.

Определить: характеристики эффективности функционирования.

Математическая формулировка задачи.

Математической моделью задачи является одноканальная СМО с отказами.

Имеем: n=1, интенсивность входящего потока λ =1, интенсивность потока обслуживания µ =0,5

Решение. Для определения характеристик эффективности функционирования используем формулы для одноканальной СМО с отказами в установившимся режиме.

1. .

2. .

3. Q = P_обс = 0,33.

4. A = λ  Q = 1  0,33 = 0,33.

5. мин.

6. мин.

7. мин.

Анализ результатов. Рассмотренная система имеет низкую пропускную способность Q= 0,33 и высокую вероятность отказаP_отк= 0,67. Это означает, что из 100 заявок 33 обслуживаются и 67 получают отказ. Целесообразно увеличение количества каналов либо уменьшение времени обслуживания.

Задача №2.

В одноканальную СМО с отказами поступает простейший поток требований с интенсивностью =3. Средняя длительность обслуживания равна 2 мин.

Найти:

а) вероятность отказа

б) вероятность того, что все каналы свободны

Решение:

Имеем tобс=2 мин; µ = ½;эрл.

1. .

2. .

3. Q = P_обс = 0,14.

4. A = λ  Q = 3  0,14 = 0,42.

5. мин.

Вывод: Для увеличения пропускной способности при заданныхn=1 и λ необходимо увеличить интенсивность обслуживания.

Задача №3.

Задана СМО с n=1 и ρ = 1.

Решение:

, ,Pотк =P1 = 0,5.