Оптимизация маршрута

Процедура оптимизации маршрута с использованием метода динамического программирования рассматривается на примере матрицы представленной на рис. 6.12. Размер матрицы 4х4.

Рис. 6.12.Схема оптимизации маршрута с применением метода динамического программирования

На границе между клетками матрицы указаны значения выигрышей, которые имеют место при переходе из одной клетки в другие. Внутри клеток указаны суммарные выигрыши.

Необходимо перейти из угловой клетки a1 в клеткуd4 таким образом, чтобы сумма выигрышей была максимальной.

В соответствии с методом динамического программирования решение начинается с последнего n-го шага – в данном случае с перехода в условную клеткуd4.

При этом используются следующие уравнения.

Условный оптимальный выигрыш на последнем шаге

Z*_n (S_n-1) = F_n (S_n-1, х_n)

где S– состояния;

х – решения;

F– выигрыши;

Z– условные оптимальные выигрыши.

Условный оптимальный выигрыш на предыдущем шаге

Z*_n-1(S_n-2) ={F_n-1(S_n-2, х_n-1) +Z*_n(S_n-1)}.

В результате последовательного применения последнего уравнения определяется оптимальное решение

Х* = {x*_n,x*_n-1, …x*₁}

и оптимальный выигрыш Z*.

Последовательность действий по оптимизации маршрута такова. Для каждого состояния (каждой клетки) определяется условный оптимальный выигрыш – он указывается в клетке в кружке. Определяется также оптимальное решение, оно указывается стрелкой.

Решение начинается, как указывалось, с перехода на n-ом шаге в конечное состояниеd4.

На n-ом шаге в зависимости от решения х_n= {c4;d3} имеем выигрышF_n= {10;15}. Условный оптимальный выигрышZ*_n= 15 приx*_n=d3.

Оптимальное для двух этапов (nиn-1) решение находится следующим образом.

Имеем:

- при х = с3, выигрыш F_n-1 +Z*_n= 10 + 15 = 25;

- при х = d2, выигрышF_n-1 +Z*_n= 15 + 15 = 30.

Следовательно, условный оптимальный выигрыш

Z*_n-1= 30 приX*_n-1=d2.

Оптимальное для двух этапов решение

Х* = {x*_n,x*_n-1} = {d3;d2}.

При оптимизации трех этапов имеем

- если х = с3 выигрыш F_n-2 +Z*_n-1= 15 + 30 = 45;

- если х = d2 выигрышF_n-2 +Z*_n-1= 5 + 30 = 35.

Условный оптимальный выигрыш на (n-2) шаге

Z*_n-2= 45 приx*_n-2=c3.

На (n-3) шаге

- при х = с1 выигрыш F_n-3 +Z*_n-2= 5 + 45 = 50;

- при х = b2 выигрышF_n-3 +Z*_n-2= 25 + 45 = 70.

Условный оптимальный выигрыш

Z*_n-3= 70 приx*_n-1=b2.

На (n-4) шаге

X_n-4= {b1};F_n-4 +Z*_n-3= 5 + 70 = 75;

Z*_n-4= 75 приx*_n-4=b1.

На (n-5) шаге

X_n-5= {а1};F_n-5 +Z*_n-4= 15 + 75 = 90;

Z*_n-5= 90 приx*_n-5= а1.

Т.о. оптимальный маршрут

Х = {a1,b1,c1,d2,d,3,d4}.

Оптимальный выигрыш

Z= 90.

Оптимальный маршрут показан на рисунке пунктиром.

Оптимальное распределение ресурсов между несколькими объектами

Рассматривается следующая задача.

Имеется система, схема которой показана на рис.6.13. Система представляет, в частности, фирму, имеющую несколько подразделений, элементов, объектов. Такими подразделениями могут быть: магазины, аптеки, кафе и т.п.

Подобную структуру имеют энергосистемы с входящими в их состав электростанциями.

Другим примером может быть корпорации (нефтяные, газовые) с входящими в их состав нефтяными, газодобывающими и перерабатывающими подразделениями.

Рис. 6.13.Структурная схема фирмы с несколькими подразделениями

Введем следующие обозначения:

y_i- выходная величинаi-го подразделения, в качестве которой может быть объём добытой нефти, газа, выработка электроэнергии, денежная выручка и т.п.

х_i - входная величина, ресурсы, инвестиции.

Пусть зависимость между выпуском y_iи ресурсомx_iимеет следующий вид:

,

Эта зависимость показана на рис.6.14.

Рис. 6.14. Схема зависимости меду выпуском и ресурсами

Зависимость соответствует основному производственному закону, согласно которому увеличение выпуска уменьшается с увеличением ресурса.

Величина E_i – параметр, характеризующий эффективность работы i-го подразделения.

Рассматриваемая задача формулируется следующим образом.

Необходимо обеспечить заданный суммарный выпуск продукции при минимуме израсходованных ресурсов.

Математически задача записывается в виде двух соотношений:

,

.

где Y* - заданный суммарный выпуск,

Х – суммарный ресурс.

Рассматриваемая задача является задачей условной оптимизации. Т.е. в ней требуется найти оптимальное решение при заданном ограничении (условии).

В математическом плане подобной является задача определения среди прямоугольных параллелепипедов такого, который имел бы заданный объём (например, 1 литр) и при этом его поверхность была бы минимальной. Таким оптимальным параллелепипедом является куб.

Задачи условной оптимизации решаются с использованием метода множителей Лагранжа.

Процедура решения состоит в следующем

Вводится множитель Лагранжа λ. Составляется по определенным правилам функция Лагранжа L. Эта функция дифференцируется по переменнымx_iи по множителю λ. Приравнивая производные нулю, получаем систему уравнений, решением которой является оптимальное значение.

В рассматриваемом случае функция Лагранжа имеет вид:

.

Дифференцируя функцию Лагранжа, получаем систему уравнений

;

.