Определение показателей качества смо с отказами

Вычисление показателей качества функционирования и качества обслуживания осуществляется с помощью компьютерной программы Erlang 2. Программа написана на языках Паскаль и С++ и приведена в Приложениях П 6.1 и П 6.2.

Ниже приведены формулы, составляющие основу алгоритма программы Erlang 2, и приводятся результаты расчета примера.

Показатели качества функционирования

Вероятность отказа

,

где .

Вероятность обслуживания

Р_обс = 1 – Р_отк .

Относительная пропускная способность

Q = Р_обс . (11.7)

Абсолютная пропускная способность

A = λ  Q . (11.8)

Среднее число занятых каналов может быть определено двумя способами

(11.9)

или

. (11.10)

Коэффициент загрузки каналов

. (11.11)

Среднее число каналов свободных от обслуживания

n₀ = n – K_ср . (11.12)

Коэффициент простоя каналов

. (11.13)

Показатели качества обслуживания заявки

Среднее число заявок в системе

. (11.14)

Среднее время пребывания заявки в системе (формула Литтла)

. (11.15)

Пример расчета

Расчет производится для случая n = 3, λ = 20, μ = 10, ρ = 2

Показатели качества функционирования

Вероятность отказа

.

Вероятность обслуживания

Р_обс = 1 – Р_отк = 1 – 0,211 = 0,789.

Относительная пропускная способность

Q = Р_обс = 0,789.

Абсолютная пропускная способность

А = λ  Q = 20  0,789 = 15,78.

Среднее число занятых каналов

.

С учетом того, что А = λ  Q = λ  (1 – Р_обс) имеем также, что

.

Другой способ определения К_ср основан на использовании формулы вычисления среднего значения случайной величины, а именно

.

В рассматриваемом случае имеем данные, представленные в табл.11.7.

Таблица 11.7

k	Pk	k  Pk
0	0,158	0
1	0,316	0,316
2	0,316	0,632
3	0,211	0,633

В результате суммирования значений, представленных в последнем столбце получаем, что

.

Коэффициент загрузки каналов

.

Среднее число каналов свободных от обслуживания

n₀ = n – К_ср = 3 – 0,158 = 1,422.

Коэффициент простоя каналов

.

Показатели качества обслуживания заявки

Среднее число заявок в системе для СМО Эрланга

.

Тогда в соответствии с первой формулой Литтла

.

11.2. Анализ системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания

Определение показателей качества СМО с ограниченным временем ожидания (с нетерпеливыми заявками)

Параметры СМО

• число каналов обслуживания – n;

• интенсивность входящего потока – λ;

• производительность одного канала, иначе – интенсивность потока обслуживаний – μ;

• максимальное число мест в очереди m = + ∞;

• ограничение на время ожидания заявки в очереди – случайное время – t_ож;

• среднее значение ограничения времени пребывания заявки в очереди – .

Расчетные параметры

• интенсивность потока уходов заявки из очереди

;

• показатель нагрузки СМО

;

• показатель нагрузки, приходящейся на один канал

;

• приведенная интенсивность потока уходов

.

Показатели качества функционирования СМО

Эти показатели зависят от трех параметров: n, ρ, β.

Вероятность того, что все n каналов свободны (вероятность простаивания всей системы)

(11.16)

или

. (11.17)

Вероятности состояний

. (11.18)

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок под обслуживанием)

. (11.19)

Среднее число заявок в очереди

. (11.20)

Среднее число заявок в системе определяется как сумма среднего числа заявок в очереди и под обслуживанием

. (11.21)

Абсолютная пропускная способность

. (11.22)

Относительная пропускная способность

. (11.23)

Вероятность обслуживания

Р_обс = Q. (11.24)

Вероятность ухода заявки из системы

Р_ух = 1 - Р_обс. (11.25)

Вероятность отказа

Р_отк = Р_ух = Р_н . (11.26)

В СМО с ожиданием вероятность отказа есть вероятность ухода заявки из очереди после того как превышено ограничение на время ожидания в системе, все каналы которой заняты обслуживанием. Иногда эту вероятность называют вероятностью того, что заявка покинет систему необслуженной и обозначают через Р_н.