2.4. Группы симметрии. Сингонии.

Элементы симметрии кристаллического класса образуют точечную группу. Говорят, что множество операций образует группу, если эти опера-ции удовлетворяют следующим условиям:

1. Результат двух операций можно получить путем третьей операции из этого же множества – AB = C.

2. Среди элементов группы есть операция идентичности (единичный эле-мент) – EA = AE = A.

3. Для каждой операции A данного множества в нем имеется обратная ей операция А^-1, такая что – А^-1A = E.

4. Последовательность операций подчиняется ассоциативному закону – (BA)C = B(AC)

Всего имеется 32 группы, описывающие симметрию кристаллов. В каждой группе имеются образующие элементы (генераторы). Это такие элементы симметрии, выбранные подходящим образом и в минимальном числе, которые позволяют получить все остальные элементы симметрии группы. Общее число элементов группы называется порядком группы.

Все 32 группы разбиваются на блоки, сформированные из групп, родст-венных по типу симметрии. Таких блоков (сингоний) семь, каждая имеет определенное название. В таблице 2.1 приведено распределение точечных групп по сингониям, причем используются как обозначения Шенфлиса, так и интернациональная классификация точечных групп, когда символ группы составляется из последовательно написанных символов генераторов групп.

Таблица 2.4.1.

Сингония	Интернациональный символ	Обозначение Шенфлиса
Триклинная	1,	C1, Ci
Моноклинная	2, m, 2/m	C2, Cs, C2h,
Ромбическая	222, mm2, mmm	D2, C2v, D2h,
Тригональная	3, , 322	C3, C3i, D3,
	3mm, m	C3v, D3d,
Тетрагональная	4, , 4/m,	C4, S4, C4h,
	422, 4mm, 2m,	D4, C4v, D2h,
	4/mmm	D4h
Гексагональная	6, , 6/m,	C6, S3, C6h,
	622, 6mm, 2m,	D6, C6v, D3h,
	6/mmm	D6h
Кубическая	23, m3, 3m,	T, Th, Td,
	432, m3m	O, Oh

К триклинной сингонии отнесены все те группы, в которых нет осей и плоскостей симметрии. В группах, относящихся к моноклинной сингонии, имеется одна ось второго порядка. К ромбической сингонии относятся группы с тремя перпендикулярными осями второго порядка. Общим для следующих трех сингоний – тригональной, тетрагональной и гексагональной - является наличие выделенной высшей оси (3-ого, 4-го или 6-ого порядков). П оэтому их называют одноосными (как и соответствующие кристаллы). Наиболее симметричные группы объединены в кубической сингонии.

В триклинной системе как все углы не равны друг другу так и все длины сторон не равны друг другу. Данная решетка имеет центр симметрии в центре элементарной ячейки.

2. В моноклинной системе ячейка имеет форму прямой призмы с ребрами разной длины. Ячейка может быть с центрированными основаниями прямой призмы С и примитивной Р. У такой решетки добавляются элементы симметрии: плоскость симметрии, параллельная основанию прямой призмы, и ось вращения 2-го порядка, проходящая через середины оснований.

3. В ромбической системе ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами разной длины. Ячейка имеет все 4 разновидности: P,I,F,C. У такой решетки еще больше элементов симметрии: три плоскости симметрии, параллельные граням, и три оси вращения 2-го порядка, проходящие через середины противоположных одинаковых граней.

4. В тетрагональной системе ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Ячейка может быть примитивной P и ОЦ I. По сравнению с предыдущей решеткой у нее появляется ось вращения 4-го порядка и несколько плоскостей симметрии.

5. В кубической системе ячейка имеет форму куба. Ячейка может быть с центрированными гранями куба (ГЦК – гранецентрированный куб) или центром (ОЦК – объемноцентрированный куб). Это самая симметричная решетка, элементы симметрии которой приведены на рис. 2.4.1.

6. В гексагональной системе ячейка имеет форму прямой призмы с ромбом в основании, причем угол в ромбе равен 60 градусам. Часто рассматривают утроенную ячейку (рис. 2.4.2), имеющую вид правильной шестигранной призмы с осью симметрии шестого порядка (отсюда и ее название).

7 . В тригональной системе ячейку принято выбирать в виде ромбоэдра, все грани которого – одинаковые ромбы с углом при вершине  . Заметим, что в случае ОЦК и ГЦК решеток можно выбрать элементарную тригональную ячейку с объемом в 2 и 4 раза меньшим, чем выбранная кубическая .

Сингонии кристаллов. Форма элементарной ячейки (соотношение между длинами векторов трансляций и углы между ними) определяет сингонию кристаллов. Различают следующие типы сингоний (табл. 2.4.2):

Гексагональную сингонию нередко подразделяют на гексагональную и тригональную, поскольку в ряде случаев элементарная ячейка может быть выбрана и в виде ромбоэдра с a = b = c,  α = β = γ ≠ 90˚. Для гексагональной и тригональной (триклинной) сингоний применяют одинаковую систему коор-динат. Единственная ось 3 или (тригональная) 6 или гексагональная принимается за ось Z. Оси X и Y составляют угол γ = 120˚ и пердикулярны оси Z.

Таблица 2.4.2

Кубическая	а = b = c	= 90o
Тетрагональная	а = b  c	= 90o
Ромбическая	а  b c	= 90o
Гексагональная	а = b  c	= 120o
Моноклинная	а  b  c	 90o  
Триклинная	а  b  c	90o

Гексагональную сингонию нередко подразделяют на гексагональную и тригональную, поскольку в ряде случаев элементарная ячейка может быть выбрана и в виде ромбоэдра с a = b = c,       ≠ 90^o . Для гексагональной и тригональной (триклинной) сингоний применяют одинаковую систему координат. Единственная ось 3 или (тригональная), 6 или гексагональная принимается за ось Z. Оси X и Y составляют угол γ = 120˚ и пердикулярны оси Z.

Поскольку число пространственных групп симметрии велико (в отсутствие магнитного упорядочения существует 230 пространственных кристаллических групп симметрии), то для краткой характеристики конкрет-ного кристалла используют точечную группу симметрии. Всего существует 32 такие группы. Они порождают кристаллические классы, на которые можно разбить все пространственные группы симметрии: все пространст-венные группы симметрии, принадлежащие к данному кристаллическому классу, имеют одну и ту же точечную группу симметрии.

Международная система обозначений точечных групп симметрии кристаллов строится по следующему принципу:

На первой позиции записывается число, равное наибольшему порядку оси вращения, присутствующей в данном кристалле. Например, у куби-ческого кристалла имеются три оси четвертого порядка, проходящие через центры противоположных граней кубической ячейки и четыре оси третьего порядка, соответствующие главным диагоналям этой ячейки. В обозначении группы симметрии на первом месте мы должны написать цифру 4.

Если в кристалле присутствует плоскость зеркальной симметрии, перпендикулярная оси вращения наивысшего порядка, то в обозна-чении группы симметрии после цифры ставится косая черта, а за ней латинская буква m, например, 2/m.

Если ось вращения наивысшего порядка лежит в плоскости зеркальной симметрии, то буква m стоит на второй позиции, например, 4m. Отметим, что в этом случае существует не одна, а целое семейство плоскостей зеркальной симметрии, получаемых из первой путем последовательных поворотов на угол 360˚/n вокруг оси вращения n-го порядка. В приведенном примере таких плоскостей зеркальной симметрии будет две.

Если наряду с рассмотренным семейством плоскостей зеркальной симметрии существует второе семейство плоскостей, являющихся биссект-рисами двухгранных углов, образованных плоскостями, принадлежащими к первому семейству, то в обозначении группы записывают две буквы m, например, 4mm.

П ример. В тетрагональной элементарной ячейке существует одно семейство плоскостей (две), проходящих через середины параллельных ребер (рис. 2.4.3), и второе семейство плоскостей (две), проходящих через параллельные друг другу диагонали оснований.