7.3. Энергия Ферми.

В квантовой теории, при изучении систем частиц (в нашем случае электронов), волновые функции которых асимметричны, подчиняются запре-ту Паули т.е.( на одном и том же квантовом уровне не может оказаться более одного электрона) и имеют полуцелый спин (± 1/2),вероятность заполнения энергетического уровня электронами подчиняется статистике Ферми-Дирака и определяется функцией Ферми. В соответствии со статистикой Ферми – Дирака вероятность того, что состояние с энергией Е при данной темпе-ратуре Т будет занято электроном , выражается функцией

f_n (E,T) = 1 / (exp(E - E_F )/ kT) + 1 (7.3.1)

где E - энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется;

T – температура;

k=1.38·10^-23 Дж/К = 0.86·10^-4 Эв/К – постоянная Больцмана.

(1 Эв = е*1в = 1.60219*10^-19Кл*1в = 1.60219*10^-19 Дж).

Е_F - энергия уровня Ферми, вероятность заполнения которого равна 0.5 и относительно которого кривая вероятности симметрична.

Величина E_F - уровень Ферми [Эв] [Дж] или энергия электрохимичес-кого потенциала имеет смысл граничной энергии заполненных состояний при температуре абсолютного нуля (Т = 0).Находясь на уровне Е_F при T = 0 ^˚ К электрон обладает максимальной энергией. На рис.7.3.1 изображена энергетическая диаграмма собственного полупроводника при Т₁ = 0 К (кривая 1) и функция распределения Ферми-Дирака при различных темпе-ратурах Т₂  Т₁ (кривая 2).

П о оси абсцисс отложена вероятность Р заполнения электронами соответствующих энергетических уровней. При температуре абсолютного нуля все валентные уровни заполнены с вероятностью равной единице, а вероятность заполнения любого уровня зоны проводимости равна нулю.

Этому случаю соответствует распределение Ферми–Дирака в виде графика 1. При комнатной температуре часть валентных электронов переходит в зону проводимости. Поэтому вероятность заполнения валентной зоны оказывается несколько меньше единицы, а вероятность заполнения электронами зоны проводимости больше нуля (кривая 2). Вероятность заполнения уровня Ферми равна 0,5. Однако поскольку он находится посредине запрещенной зоны, то электроны не могут стабильно находиться на этом уровне.

При значительном увеличении температуры, кТ растет, стремясь к бесконечности. Поэтому вероятность заполнения любого разрешенного уровня (рис. 7.3.1) будет стремиться к 0,5 (прямая 3 на рис.7.3.1).

Таким образом величина Е_F определяет максимальное значение энергии, которую может иметь электрон в твердом теле при температуре абсолютного нуля, т.е. при T=0^°К в полупроводнике нет электронов с энергией больше Е_F. То есть энергия уровня Ферми соответствует верхней границе электронного распределения при T = 0^° К, а также средней энергии "диапазона размытия" при любой другой температуре. Существование энергии Ферми следует из принципа Паули. Для систем, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака, энергия Ферми совпадает с химическим потенциалом при Т = 0 °К.

Энергия электрохимического потенциала – работа, которую необхо-димо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу при условии постоянства объема и температуры.

С помощью функции Ферми можно определять заполнение электронами зоны проводимости или валентной зоны полупроводника. Для валентной зоны удобнее говорить о дырках – пустых энергетических уровнях в валентной зоне.

Любой энергетический уровень валентной зоны может быть либо занят электроном, либо свободен от электрона (занят дыркой). Поэтому сумма вероятностей

P_n(Е)+P_p(Е)=1 (7.3.2)