6.2. 3. Зоны Бриллюэна.

Если в  -пространстве построить обратную решетку, растянутую в 2π раз, т. е. решетку с векторами , то все  – пространство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называют «зонами Бриллюэна» Многогранник мини-мального объема, построенный в -пространстве вокруг начала координат и содержащий все возможные различные состояния, называют первой, или основной, зоной Бриллюэна.

Для построения зон Бриллюэна обычно используется следующий способ. Какой-то узел обратной решетки, растянутой в 2π раз, выбирают в качестве начала координат и соединяют его прямыми линиями с ближайшими к нему узлами. Через середины этих линий перпендикулярно к ним проводят плоскости. Ограниченный этими плоскостями наименьший многогранник, содержащий внутри себя начало координат, и является первой зоной Бриллюэна. Другими словами, первая зона Бриллюэна представляет собой элементарную ячейку Вигнера – Зейтца для обратной решетки, растянутую в 2π раз.

Рассмотрим в качестве примера простую кубическую решетку с параметром ячейки, равным а. Обратная решетка для нее также простая кубическая, причем а* = 1/а. Ячейка Вигнера - Зейтца в -пространстве. т. е, первая зона Бриллюэна, представляет собой в этом случае куб объемом (2π)³/а³. Все неэквивалентные значения компонентов вектора при этом лежат в интервалах:

; ; (6.2.13)

П ервые зоны Бриллюэна для простой, объемноцентрированной и гранецентрированной кубических решеток показаны на рис. 6.2.1. Эквивалентность физических состояний, принадлежащих различным зонам Бриллюэна, позволяет при движении электрона в -пространстве рассматривать его траекторию только в пределах первой зоны Бриллюэна.

Любой реальный кристалл является, ограниченным. Это обстоя-тельство приводит к тому, что волновой вектор электрона может принимать только дискретный ряд значений. Для того, чтобы подсчитать число допустимых значений в зоне Бриллюэна, необходимо учесть граничные условия. Воспользуемся для этого циклическими граничными условиями Борна – Кармана.

Предположим, что кристалл имеет форму параллелепипеда с размерами по осям x, y, z соответственно L_x , L_y , L_z..Пусть решетка простая кубическая с параметром а . Тогда

, (6.2.14)

где N_х , N_y,, N_z – число атомов, располагающихся на ребрах L_x , L_y , L_z , соответственно. Потребуем, чтобы волновая функция удовлетворяла условиям Борна -Кармана:

(6.2.15)

Учитывая, что волновая функция электрона в кристалле имеет вид функции Блоха, условие (6.2.15) можно переписать в виде

откуда следует , что

или

Последнее равенство выполняется, если

; ; (6.2.16)

где n₁, n₂ , n₃ – любые целые числа (0, ±1, ±2, …).

Таким образом, действительно, множество возможных квантовых состояний электрона в -пространстве, т. е. множество допустимых значений компонентов волнового вектора , определено дискретно. В соответствии с этим оказывается квантованной и энергия электронов в разрешенной энергетической зоне.

Для подсчета числа квантовых состояний (или числа уровней в энергетической зоне) заметим, что согласно (6.2.14) полное число атомов в кристалле N = N_xN_yN_z , а элементарный объем, приходящийся на одно квантовое состояние, есть

поскольку разность двух соседних целых чисел n₁ ,n₂ или n₃,, входящих в равенства (6.2.15), очевидно, равна единице. Тогда, разделив объем зоны Бриллюэна (равный (2π)³/а³) на объем, приходящийся на одно квантовое состояние (равный (2π)³/Nа³ ), получим, что в зоне Бриллюэна имеется N разрешенных состояний, т, е. число квантовых состояний определяется числом элементарных ячеек (атомов) в кристалле.

Итак, для полного описания всей совокупности состояний электрона в кристалле достаточно рассматривать только область значений , ограни-ченную первой «зоной Бриллюэна» Тем не менее, иногда полезно считать, что волновой вектор может изменяться по всему -пространству. Поскольку для любых значений , отличающихся на вектор , все волновые функции и уровни энергии одинаковы, энергетическим уровням можно приписать индекс n так, чтобы при заданом n собственные значения уравнения Шредингера были периодическими функциями вектора в обратной решетке:

Совокупность всех энергетических уровней электрона, описываемых функцией при фиксированном значении n, называют энергетической зоной. Так как каждая функция периодична и квазинепрерывна, то у нее существуют нижний и верхний пределы. Все уровни данной разрешенной энергетической зоны заключены в интервале между этими двумя пределами. Она может быть отделена от соседних разрешенных зон запрещенными энергетическими зонами. Возможно также перекрытие этой зоны с другими зонами, Детальное поведение зон (перекрытие или наличие запрещенных зон и в последнем случае ширина, этих запрещенных зон) определяет электронные свойства конкретного материала. Зонная структура – это та важнейшая характеристика, которая отличает друг от друга проводники, диэлектрики и полупроводники.