5.3. Соотношение неопределенности Гейзенберга.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу , что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой, и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) неможет иметь одновременно и определенную координату (х,y,z), и опреде-ленную соответствующую проекцию импульса (p_x,р_y,p_z), причем неопреде-ленности этих величин удовлетворяют условиям

; ; , (5.3.1)

т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей про-екции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей (5.3.1) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (∆х = 0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказы-вается совершенно неопределенной (∆р_х → ), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и факти-ческая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей, отражая специфику физики микро-частиц, позволяет оценить, например, в какой мере можно применять поня-тия классической механики к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движе-ние по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (5.3.1) в виде

(5.3.2)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой 10 ^-12 кг и линейными размерами 10 ^-6 м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров (∆х = 10 ^-8 м), неопределенность скорости, по (5.3.2),

, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться.

Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координата и скорость макротел могут быть одновре-менно измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами клас-сической механики.

Предположим, пучок электронов движется вдоль оси х со скоростью V = 10⁸ м/с, определяемой с точностью до 0,01 % (∆V_x ≈ 10⁴ м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (5.3.2),

,

т.е. положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность доcтаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории, иными словами, опи-сывать их движение законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущему-ся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона ∆x ≈ 10 ^-10 м (порядка размеров самого атома, т. е. можно считать, что элект-рон принадлежит данному атому). Тогда, согласно (5.3.2)

.

Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса ≈ 0,5∙10 ^-10м его скорость V ≈ 2,3∙10 ⁶ м/с. Таким образом, неопределенность скорости со-измерима со скоростью. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории, иными словами, для описания движения электрона в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопреде-ленностей для энергии и времени:

(5.3.3)

Подчеркнем, что ∆Е – неопределенность энергии некоторого состояния системы, ∆t – промежуток времени, в течение которого оно существует. Сле-довательно, система, имеющая среднее время жизни ∆t, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни.

Из выражения (5.3.3) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность , т. е. линии спектра должны харак-теризоваться частотой, равной .

Опыт подтверждает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существо-вания атома в возбужденном состоянии.

Важно отметить, что некоторые физические величины могут быть одновременно точно определены. Например, неопределенность координаты ∆х и неопределенности проекции импульса ∆р_у входят в разные соотношения неопределенностей и потому являются независимыми. Следовательно, можно одновременно выполнить условия: ∆х → 0 (полагая ∆р_х → ) и ∆р_у →0 (полагая ∆y → ¥ ), то есть можно одновременно и точно определить ∆х и ∆p_у . Это связано с тем, что процесс измерения координаты х «не возмущает» проекцию импульса р_у и наоборот.

Н. Бором был сформулирован принцип дополнительности информа-ции об одних физических величинах, описывающих микрообъект, неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах. Эти другие величины, дополнительные к первым, являются сопряженными с ними. Например пара координата – импульс.

Совокупность всех физических величин, которые могут быть одно-временно и точно определены в рассматриваемой квантовомеханической системе, называют полным набором одновременно измеримых величин. Такие полные наборы играют важную роль в квантовой механике – с их помощью (то есть с помощью соответствующих им наборам квантовых чисел) классифицируются стационарные состояния квантовомеханических систем.