6.2. Элементы зонной теории.

6.2.1.Основные положения зонной теории.

Как следует из квантовой механики, для вычисления возможных значений энергии системы частиц надо решить соответствующее уравнение Шредингера. Это уравнение является дифференциальным уравнением в частных производных, содержащим столько переменных, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. В физике твердого тела в эту систему входят все электроны и атомные ядра атомов, составляющие крис-талл. Таким образом, число степеней свободы, а следовательно и число переменных в уравнении Шредингера оказывается очень большим – прибли-зительно 10²² - 10²³. В результате взаимодействия между частицами перемен-ные не разделяются, решить такую задачу чрезвычайно трудно. Прямое решение этой задачи в настоящее время невозможно. Более того, в случае решения задачи интерпретировать физический смысл такого решения было бы чрезвычайно трудно, так как объем информации содержащийся в этом решении был бы огромен.

Что бы обойти эти сложности современная квантовая теория твердого тела допускает ряд упрощений. Допущения выбираются с таким расчетом, что бы сохранить основные черты системы, исключив все малосущественное. Зонная теория базируется на ряде основных предположений составляющих «зонное приближение»:

1.При изучении движения электронов атомные ядра, ввиду их большой массы, рассматриваются как источники, поля действующие на электроны. Таким образом, движение электронов можно считать независимым, проис-ходящим без обмена энергией с атомными ядрами. Процесс происходящий без обмена энергией с окружающей средой называется адиабатическим. По аналогии это допущение называется адиабатическим приближением.

2. Рассматривается идеальный кристалл. Расположение ядер считается строго периодическим: они размещаются в узлах идеальной решетки этого кристалла.

3. Энергия попарного взаимодействия электронов между собой заме-няется энергией взаимодействия каждого электрона с усредненным полем всех остальных электронов. Это поле получило название «самосогласован-ного» поскольку оно не только определяет движение данного электрона, но и само зависит от этого движения. Введение самосогласованного поля позво-ляет рассматривать электроны как не взаимодействующие частицы, т.е. в виде идеального газа. Следовательно, задачу для многих частиц можно свести к рассмотрению поведения одного электрона. Такое упрощение получило название одноэлектронного приближения.

Первое предположение позволяет рассматривать поведение электронов без учета движения тяжелых частиц. В действительности, строго говоря, расположение ядер не задано, а изменяется с изменением состояния электро-нов. Смысл первого предположения заключается в утверждении, что этот эффект мал.

Второе предположение ограничивает класс рассматриваемых систем кристаллическими твердыми телами, о жидкостях, стеклах и т.д. речь не идет.

Третье предположение сводит многоэлектронную задачу к одноэлект-ронной. Одно уравнение Шредингера для всей системы атомных ядер и электронов заменяется на совокупность идентичных, не связанных между собой уравнений Шредингера для каждого электрона в отдельности. Вместо электронной жидкости – системы взаимодействующих друг с другом частиц – мы рассматриваем идеальный электронный газ в эффективном внешнем поле. Следует отметить, что в большинстве электрических, магнитных и оптических явлений в твердых телах роль электронов внутренних атомных оболочек невелика. Так как энергия связи этих электронов со своими ядрами составляет порядка десятки и сотни электрон-вольт (на один электрон). Это значительно больше средней энергии их взаимодействия со внешними полями, а также больше энергии квантов электромагнитного поля в видимом и длинноволновом диапазоне. Поэтому во многих задачах возможно другое, также приближенное, разделение частиц на тяжелые и легкие. Электроны внутренних оболочек вместе с ядрами образуют атомные остовы, состояния которых в рассматриваемых явлениях практически не меняются, а в рассмат-риваемую систему электронов включают только валентные электроны атомов, составляющих решетку твердого тела. При этом роль неподвижных источников поля играют уже не ядра, а атомные остовы. Соответственно в первое и второе положения вносятся поправки. В них заменяют выражения «атомные ядра» на «атомные остовы». Такое приближение называют валентной аппроксимацией.