6.2.2. Волновая функция электрона в периодическом поле.

Как мы видели выше, в рамках зонного приближения задача о системе электронов в твердом теле сводится к задаче об одном электроне движущем-ся в заданном внешнем поле. Обозначим потенциальную энергию электрона в нём через U ( ). Явный вид функции U ( ) нам не известен. Однако поль-зуясь лишь условием ее периодичности можно выяснить многие важные осо-бенности изучаемой системы. Этим объясняется удобство и успех в примене-нии зонного приближения для интерпретации экспериментальных данных.

Мы будем рассматривать только стационарные состояния электронов. Тогда уравнение Шредингера принимает вид

, (6.2.1)

причем функция V( ) обладает периодичностью кристаллической решетки:

(6.2.2)

где , где – векторы единичных трансляций; n₁, n₂, n₃ – произвольные целые числа. При смещении кристалла на вектор он совме-щается сам с собой.

Из условия трансляционной симметрии (6.2.2) следует, что волновые функции электрона ψ ( ) и ψ ( + ) могут отличаться только постоянным множителем, т.е.

(6.2.3)

Так как обе функции электрона должны быть нормированы , абсолютная величина С должна быть равна единице:

|С| = 1 (6.2.4)

Условие (6.2.4) может быть удовлетворено если принять , где -произвольный вектор. Тогда из (6.2.3) следует, что

(6.2.5)

откуда

, (6.2.6)

где

(6.2.7)

Функция обладает трехмерной периодичностью кристалличес-кой решетки , так как согласно (6.2.5) и (6.2.7),

Таким образом, волновая функция электрона в периодическом поле кристалла имеет вид:

, (6.2.8)

где – функция координат, имеющая периодичность решетки:

(6.2.9)

Равенства (6.2.8), (6.2.9) составляют содержание теоремы Блоха: волно-вая функция электрона, движущегося в периодическом поле, представляет собой плоскую волну, модулированную некоторой функцией с периодич-ностью решетки. Сами функции вида (6.2.8) иногда называют функциями Блоха.

Входящий в функцию блоха вектор называют волновым. Его компо-ненты имеют размерность [см^-1]. Модуль вектора называют волновым числом. Его физический смысл – число длин волн, укладывающихся на отрезке 2, т.е. k = 2 / . В задаче о движении электрона в периодическом поле кристалла волновой вектор играет такую же роль , какую играет вол-новой вектор в задаче о движении свободного электрона.

Состояние свободно движущегося электрона с массой m характеризу-ется энергией E и импульсом . При этом

E= p²/(2m).

Этому электрону соответствует волна де Бройля длиной

 = h/p = h/(mv)

где v- скорость электрона.

Отсюда учитывая, что k = 2 / , получим

,

где . Видно, что волновой вектор пропорционален импульсу элект-рона.

Энергия свободного электрона связана с волновым вектором соотноше-нием

Если на электрон никакие силы не действуют, то его энергия остается постоянной, т.е. .Это означает, что не меняется и остаётся постоянным импульс . По существу, это есть законы сохранения энергии и импульса.

На электрон, движущийся в кристалле, всегда действует периодическое поле решетки. Энергия этого взаимодействия является периодической функ-цией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля, т.е. не сохраняются.

Однако, пользуясь понятием волнового вектора , введённого для электрона в кристалле, т.е. входящего в функцию Блоха (6.2.8), можно ввести характеристику, аналогичную импульсу. Но сохраняющуюся во времени:

(6.2.10)

Чтобы подчеркнуть сходство и одновременно отметить отличие фигурирующей в (6.2.10) величины от истинного импульса, эту величину называют квазиимпульсом электрона,

Если какая-либо физическая величина сохраняется, то оператор этой величины коммутирует с оператором Гамильтона. Таким образом, квазиимпульсу должен соответствовать некоторый оператор, коммути-рующий с гамильтонианом кристаллической решетки. Следовательно, можно утверждать, что при движении электрона в периодическом поле кристаллической решетки собственные функции операторов квазиимпульса и Гамильтона должны быть одинаковы, а между их собственными значениями должна быть определенная функциональная связь: . Это означает, что энергия электрона должна быть функцией квазиимпульса. а значит, с учетом (6.2.10), и функцией: волнового вектора, т.. е.

(6.2.11)

Обратим теперь внимание на то, что волновой вектор электрона в кристалле в отличие волнового вектора свободного электрона неоднозначен. Чтобы показать это, рассмотрим трансляционное условие (6.2.5), накладываемое на волновую функцию электрона, движущегося в периодическом поле решетки:

Это условие не нарушится, если волновой вектор заменить на век-тор , где  – вектор обратной решетки. Действительно,

в силу того, что и . Таким образом, мы приходим к выводу что квантовые состояния, характеризуемые волновыми векторами и , физически эквивалентны. Следовательно, энергия электронов, находящихся в этих двух состояниях, одинакова. Другими словами, и волновая функция, и энергия электрона в кристалле являются периодическими функциями волнового вектора с периодом :

(6.2.12)

Нахождение зависимости является одной из важнейших задач физи-ки твердого тела.