Розв’язання.

х=2у+33(2у+3)-5у=7→х=2у+36у+9-5у=7→х=2у+3у=7-9→х=2у+3у=-2→х=-4+3у=-2→х=-1у=-2. Отже, розв’язком системи рівнянь буде пара чисел (-1;-2).

б) метод алгебраїчного додавання. Розв’язуючи систему рівнянь цим методом, деякі її рівняння домножають на спеціально підібрані множники, що визначені при всіх допустимих значення змінних, так, щоб коефіцієнти при одній змінній стали рівними за модулем, а потім почленно додають ці рівняння одне до одного. В результаті таких перетворень одержують рівняння, яке є рівнянням з однієї змінною. Розв’язавши його, знаходять значення цієї змінної, а потім підставляють його в інше рівняння та знаходять значення другої змінної.

Вправа: Розв’язати систему рівнянь: 2х-3у=55х+у=21.

Розв’язання.

Щоб зрівняти по модулю коефіцієнти при другому невідомому в обох рівняннях, домножимо друге рівняння на 3. Маємо: 2х-3у=53(5х+у)=63→2х-3у=515х+3у=63. Додавши до першого рівняння друге, отримаємо рівняння з однією змінною: 17х=68. Отже, х=4. Підставивши це значення у перше рівняння, будемо мати: 8-3у=5→-3у=5-8→-3у=-3→у=1. Таким чином, розв’язком системи рівнянь є пара чисел (4;1).

в) метод введення нових невідомих. Під час розв’язування деяких систем буває корисно ввести замість змінних і нові змінні, введення яких спрощує розв’язування.

Вправа: розв’язати систему рівнянь: х+у+х/у=9(х+у)●(х/у)=20.

Розв’язання.

Позначимо х+у=u, x/y=v. Маємо систему u+v=9uv=20, яку можна розв’язати способом підстановки. (9-v)v=20→9v-v²=20→v²-9v+20=0. Розв’язавши це квадратне рівняння, отримаємо два значення v₁=4 і v₂=5. За цими значеннями знаходимо u₁=5 і u₂=4. Для знаходження значень х і у потрібно розв’язати такі дві системи: 1) х+у=5х/у=4; 2) х+у=4х/у=5. Із другого рівняння першої системи маємо х=4у, а тому 4у+у=5 і у=1. Тоді х=4. Отже, розв’язком першої системи буде пара чисел (4;1). Із другого рівняння другої системи маємо х=5у, а тому 5у+у=4 і у=2/3. Тоді х=8/3. Отже, розв’язком другої системи є пара чисел (8/3;2/3). Таким чином, дана система рівнянь має розв’язками дві пари чисел (4;1) і (8/3;2/3).

Зазначимо, що задача розв’язування системи рівнянь, взагалі кажучи, досить складна і не завжди її можна розв’язати методами елементарної математики. Однак у багатьох випадках шлях розв’язання системи все таки знайти вдається. Для цього доводиться комбінувати різні способи розв’язування систем рівнянь.

5. Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.

5. Досить часто розв’язати задачу арифметичним способом досить складно, а от методом складання рівнянь це зробити набагато простіше. При розв’язуванні задач методом складання рівнянь потрібно: 1) провести розбір задачі з метою вибору основного невідомого та виявлення залежності між величинами, а також вираження цих залежностей на математичній мові у формі двох алгебраїчних виразів (одне із них може бути заданим); 2) знайти основу для сполучення цих виразів знаком “=” та скласти рівняння; 3) знайти розв’язок одержаного рівняння; 4) з’ясувати чи немає серед розв’язків цього рівняння таких, які сторонні для задачі; 5) встановити чи вичерпують розв’язки рівняння всі розв’язки задачі. Всі ці етапи задачі логічно пов’язані між собою. Наприклад, при пошуку основи для сполучення двох виразів знаком рівності говориться як про особливий етап, але ж цілком зрозуміло, що на попередньому етапі вказані вирази утворюються не довільно, а із врахуванням можливості сполучити їх знаком рівності. В силу неподільності аналізу та синтезу, як методів дослідження, інакше і бути не може. Виявлення залежностей між величинами, переклад цих залежностей на математичну мову вимагає напруженої аналітико-синтетичної діяльності. Успіх в цій роботі залежить від того як учні знають в яких залежностях можуть знаходитися величини, а також як вони розуміють смисл відношень. Наприклад, смисл відношень, які виражені термінами: “пізніше на ...”, “старший в ... разів” тощо. Крім цього потрібне розуміння якою саме математичною дією чи властивістю дії чи якою залежністю між компонентами та результатом дії тощо може бути описане те чи інше конкретне відношення.