Малюнок № 6.3.

Проведемо тепер дві прямі, які не проходять через початок координат. Нехай це будуть прямі y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂. Оскільки кутові коефіцієнти прямих y=k₁x і y=k₂x та y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂ однакові, то пряма y=k₁x і паралельна прямій y=k₁x+b₁, а пряма y=k₂x паралельна прямій y=k₂x+b₂, які перпендикулярні між собою. Отже, перпендикулярними будуть і прямі y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂. Тоді умовою перпендикулярності двох прямих, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами буде наступна рівність k₁k₂= -1.

Наведемо без виведення ряд рівнянь прямої, які будуть потрібні при розв’язуванні задач (див. таблицю № 6.1.).

	рівняння пучка прямих, що проходять через точку М0(х0;у0).
	рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки М1(х1;у1) та М2(х2;у2).
	Загальне рівняння прямої.

Таблиця № 6.1. Види рівнянь прямої.

Виведемо формулу кута між двома прямими y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂ (див. малюнок № 6.4.). Для цього пригадаємо, що кутовий коефіцієнт це тангенс кута нахилу прямої до осі абсцис. Із трикутника МНК видно, що , бо зовнішній кут трикутника МНК. Звідси . Отже, маємо: . Ця формула дозволяє знаходити кут між двома прямими, які задані своїми рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

Малюнок № 6.4.

Якщо в загальному рівнянні прямої визначити у, то при В≠0 загальне рівняння прямої приймає вигляд . Якщо позначити - через , а через , то рівняння приймає вигляд , тобто матиме вигляд рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо , то рівняння буде мати вигляд Ах+С=0 або х=а, тобто має рівняння прямої, паралельної осі ординат. Якщо А=0, то маємо рівняння Вх+С=0 або у=b, тобто рівняння прямої, паралельної осі абсцис.

Запишемо умови паралельності і перпендикулярності прямих, заданих своїми загальними рівняннями. Нехай маємо дві прямі та . Якщо і , то , . Виходячи із умови паралельності прямих , маємо або –a₁b₂=-a₂b₁. Тоді умова паралельності запишеться так: a₁b₂-a₂b₁=0. Оскільки умова перпендикулярності прямих має вигляд k₁k₂=-1, то для прямих, які задані загальними рівняннями прямої, умова перпендикулярності матиме вигляд a₁а₂+b₁b₂=0.

Нехай задано дві прямі та . Якщо ці прямі перетинаються, то координати точки перетину задовольняють обидва рівняння, а це означає, що для знаходження точки перетину двох прямих потрібно розв’язати систему рівнянь: . Пропонуємо студентам самостійно розв’язати наступні вправи, використовуючи виведені раніше формули.

Вправа 1: Знайти точку перетину прямих та .

Вправа 2: Як розміщені прямі на площині? та .

Вправа 3: Записати рівняння прямої, яка проходить через точки , .

Вправа 4: Знайти тангенс кута між прямими та .

4. Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.

4. Нехай дано два рівняння з двома змінними і . Говорять, що вони утворюють систему рівнянь з двома змінними, якщо потрібно знайти всі пари чисел, при підстановці яких в кожне рівняння системи воно перетворюється в правильну числову рівність. Якщо потрібно знайти всі пари чисел, при підстановці яких хоча б в одне рівняння воно перетворюється в правильну числову рівність, то говорять про сукупність двох рівнянь з двома невідомими. Таким чином, приймемо наступні означення.

Означення: системою двох рівнянь з двома невідомими називається кон’юнкція двох рівнянь з двома змінними.

Означення: сукупністю двох рівнянь з двома невідомими називається диз’юнкція двох рівнянь з двома змінними.

Систему двох рівнянь з двома невідомими, яка складається із рівнянь і символічно позначають так: або  (І). Сукупність двох рівнянь з двома невідомими, яка складається із рівнянь f₁(х;у)=g₁(х;у) і f₂(х;у)=g₂(х;у) символічно позначають так: f₁(х;у)=g₁(х;у)f₂(х;у)=g₂(х;у) або

f ₁(х;у)=g₁(х;у)

f₂(х;у)=g₂(х;у). (ІІ).

Означення: пара чисел , при підстановці яких в кожне рівняння системи замість змінних і , ми одержуємо правильні числові рівності називається розв’язком системи (І).

Означення: пара чисел , при підстановці яких хоча б в одне рівняння сукупності замість змінних і , ми одержуємо правильну числову рівність називається розв’язком сукупності (ІІ).

Множину всіх таких пар називають множиною розв’язків відповідно даної системи чи даної сукупності. Як видно, множина розв’язків системи є перетином множин розв’язків обох рівнянь системи, а множина розв’язків сукупності є об’єднанням множин розв’язків обох рівнянь сукупності. Система рівнянь являє собою кон’юнкцію цих рівнянь, бо система рівнянь буде мати розв’язки тоді, коли існує така пара чисел, що обидва рівняння перетворюються в правильні числові рівності. Саме тому ми систему рівнянь записуємо і так: . Для того, щоб це показати, потрібно довести, що всі розв’язки системи перетворюють кон’юнкцію двох предикатів в істинне висловлення, і навпаки, всі значення при яких кон’юнкція предикатів істинна, перетворюють кожен із них в правильне висловлення, тобто в правильну числову рівність. Нехай пара чисел є розв’язком системи. Тоді при підстановці чисел і замість і ми будемо мати дві істинні числові рівності, тобто кон’юнкція f₁(х₀;у₀)=g₁(х₀;у₀) f₂(х₀;у₀)=g₂(х₀;у₀) буде істинною. Навпаки, якщо із двох рівнянь з двома змінними утворено кон’юнкцію і при підстановці пари чисел вона істинна, то істинні обидва рівняння, а отже пара чисел є розв’язком системи .

Сукупність рівнянь являє собою диз’юнкцію цих рівнянь, бо сукупність рівнянь буде мати розв’язки тоді, коли існує така пара чисел, що хоча б одне рівняння перетворюються в правильну числову рівність. Саме тому ми сукупність рівнянь записуємо і так: f₁(х;у)=g₁(х;у)f₂(х;у)=g₂(х;у). Для того, щоб це показати, потрібно довести, що всі розв’язки сукупності перетворюють диз’юнкцію двох предикатів в істинне висловлення, і навпаки, всі значення, при яких диз’юнкція предикатів істинна, перетворюють хоча б одне із них в правильне висловлення, тобто в правильну числову рівність. Нехай пара чисел є розв’язком сукупності. Тоді при підстановці чисел і замість і ми будемо мати принаймні одну істинну числову рівність, тобто диз’юнкція f₁(х₀;у₀)=g₁(х₀;у₀)f₂(х₀;у₀)=g₂(х₀;у₀) буде істинною. Навпаки, якщо із двох рівнянь з двома змінними утворено диз’юнкцію і при підстановці пари чисел вона істинна, то принаймні одне рівняння перетвориться в істинну числову рівність, а отже пара чисел є розв’язком сукупності (ІІ).

Означення: розв’язати систему рівнянь – це означає знайти множину її розв’язків.

Означення: розв’язати сукупність рівнянь – це означає знайти множину її розв’язків.

Означення: дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо вони визначені на одній множні та всі розв’язки однієї системи рівнянь є розв’язками другої і навпаки.

Означення: дві сукупності рівнянь називаються рівносильними, якщо вони визначені на одній множині та всі розв’язки однієї сукупності рівнянь є розв’язками другої і навпаки.

Дві системи чи сукупності рівнянь можуть бути рівносильними в одній числовій області і нерівносильними в іншій. До алгебраїчних методів розв’язування систем рівнянь відносять такі методи:

а) метод підстановки. Суть цього методу полягає в тому, що одне із рівнянь системи замінюють рівносильним йому рівнянням, але таким, в якому визначене одне із невідомих, і підставляють у друге рівняння. Внаслідок такої підстановки друге рівняння стає рівнянням з однією змінною.

Вправа: розв’язати систему рівнянь: х-2у=33х-5у=7.