Розв’язання.

Оскільки у першому випадку обидва числа додатні, то маємо 3+5. У другому випадку маємо числа різних знаків, а тому 3+(-5)=-(│-5│-│3│)=-(5-3). У третьому випадку маємо -3+5=+(│5│-│-3│)=5-3. Для п’ятого випадку маємо: 0,121121112…+(-0,343343334…)=-(│-0,343343334…│-│0,121121112…│)=-(0,343343334…-0,121121112…)=-0,222…=-0,(2)= - .

Введені означення суми дійсних чисел можна поширити на випадок будь-якої скінченної кількості доданків, але як виконувати за цими означеннями дії не зовсім зрозуміло. Саме тому спочатку введемо поняття наближеного значення нескінченного неперіодичного десяткового дробу з недостачею та з надлишком, а потім відповідні правила виконання дій. Нехай маємо дійсне число α=0,232232223… Тоді значеннями цього нескінченного неперіодичного десяткового дробу з недостачею з точністю, до цілих, десятих, сотих тощо будуть такі значення 0; 0,2; 0,23; 0,232…, а з надлишком – 1; 0,3; 0,24; 0,233 … Записати це можна за допомогою наступних подвійних нерівностей:

0≤α≤1

0,2≤α ≤0.3

0,23≤α≤0,24

…

α_n′≤α≤α_n′′

…

У цих записах α_n′ - це значення дійсного числа α з недостачею, а α_n′′ - це значення дійсного числа α з надлишком.

Розглянемо два дійсних числа α і β з їхніми відповідними наближеннями α_n′≤α_n≤α_n′′ і β_n′≤β_n≤β_n′′. При розгляді властивостей числових нерівностей ми довели теорему про додавання нерівностей однакового смислу. Саме тому можна стверджувати справедливість наступної нерівності: α_n′+β_n′≤α_n+β_n≤α_n′′+β_n′′, яка дозволяє сформулювати наступне правило додавання дійсних чисел.

Правило: сума двох дійсних чисел α і β більша або дорівнює значення суми десяткових наближень цих чисел, взятих з недостачею та менша або дорівнює значення суми десяткових наближень цих чисел, взятих з надлишком.

Символічно маємо таку нерівність: α_n′+β_n′≤α_n+β_n≤α_n′′+β_n′′. Це правило можна поширити на будь-яку скінченну кількість доданків. Проілюструємо застосування цього правила на наступних прикладах.

Вправа: знайти суму дійсних чисел α=0,121121112… і β=1,242242224… з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих; г) тисячних.

Розв’язання.

Десятковим наближенням числа α до тисячних з недостачею буде 0,121, а з надлишком – 0,122. Для числа β будемо відповідно мати 1,242 і 1,243. Тепер можна за сформульованим правилом визначити значення суми чисел α і β з точністю до тисячних: 0,121+1,242≤α+β≤0,122+1,243. Отже, 1,363≤α+β≤1,365. Решту випадків пропонуємо студентам розглянути самостійно.

Виходячи із означення суми дійсних чисел легко довести справедливість такої теореми.

Теорема: сума дійсних чисел існує, єдина та підкоряється комутативному та асоціативному законам.

Символічно цю теорему можна записати так: 1) (α,βєR)(!γєR)(α+β=γ); 2) (α,βєR)(α+β=β+α); 3) (α,β,γєR)((α+β)+γ=α+(β+γ)).

Означення: різницею двох дійсних чисел α і β називають таке третє дійсне число γ, яке в сумі з числом β дає число α.

Символічно це означення можна записати так: (γ=α-β)↔(β+γ=α). Легко довести справедливість такої теореми та переконатися у справедливості наступного правила.

Теорема: різниця двох дійсних чисел завжди існує та єдина.

Правило: щоб знайти різницю двох дійсних чисел потрібно до зменшуваного додати число протилежне від'ємнику.

Символічно це виглядає так α-β=α+(-β). Наприклад: 5-3=5+(-3). Для практичного виконання віднімання дійсних чисел, які виражені нескінченними неперіодичними десятковими дробами, використовують їхні десяткові наближення. Як відомо, нерівності протилежного смислу можна почленно віднімати, а тому з α_n′≤α_n≤α_n′′ і β_n′≤β_n≤β_n′′, помноживши другу нерівність на -1, маємо: α_n′≤α_n≤α_n′′ і -β_n′′≤-β_n≤-β_n′. Тепер α_n′-β_n′′≤α_n-β_n≤α_n′′-β_n′.

Правило: різниця двох дійсних чисел α і β більша або дорівнює різниці числа α з недостачею та числа β з надлишком і менша або дорівнює різниці числа α з надлишком і числа β з недостачею.

Символічно це означення записується так: α_n′-β_n′′≤α_n-β_n≤α_n′′-β_n. Застосування правила покажемо на наступному прикладі.

Вправа: знайти різницю чисел 3 і 2 з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих.