Розв’язування:

В обох предикатах мова йде про натуральні числа, а тому областю визначення предикатів є множина натуральних чисел. Отже, предикати задані на одній множині. Знайдемо множини істинності предикатів. Т_А={4, 8, 12, 16, …, 4n, …}. Т_В={2, 4, 6, 8, …, 2n, …}. Звідси легко бачити, що Т_АТ_В. Таким чином, А(х)╞ В(х). Предикат А(х)→В(х) можна прочитати так: із того, що натуральне число ділиться націло на 4, логічно слідує, що натуральне число парне. До розв’язування цієї вправи можна підійти по-іншому. Утворимо імплікацію заданих предикатів А(х)→В(х). Легко бачити, що вона істинна. Отже, відповідно до другого означення можна твердити, що А(х)╞ В(х).

Розглядаючи предикати, ми не цікавилися питанням про те, яке співвідношення може існувати між областю визначення предиката і множиною його істинності. Виявляється, що при співпаданні цих множин приходимо до поняття рівносильності предикатів.

Означення: два предикати А(х) і В(х), які задані на множині Х, називаються рівносильними, якщо еквіваленція цих предикатів А(х)↔В(х) істинна при всіх хєХ (тобто, коли Х=Т_А↔_В).

Символічно це записують так: А(х)≡В(х). Щоб перевірити, чи рівносильні предикати слід з’ясувати наступне: 1) чи задані предикати на одній множині; 2) утворити еквіваленцію заданих простих предикатів; 3) знайти множину істинності еквіваленції; 4) порівняти область визначення та множину істинності; 5) якщо вони співпадають, то зробити висновок про те, що предикати знаходяться у відношенні рівносильності.

Вправа: з’ясувати, чи рівносильні предикати А(х): «натуральне число х ділиться націло на 5» і В(х): «десятковий запис натурального числа х закінчується на 0 чи 5».

Розв’язання:

Легко бачити, що предикати задані на одній множині натуральних чисел. Утворимо еквіваленцію А(х)↔В(х): «натуральне число х ділиться націло на 5 тоді і тільки тоді, коли його десятковий запис закінчується цифрами 0 чи 5». Отже, А(х)↔В(х)=1 при всіх хєХ, а тоді Т_А↔_В=Х. Таким чином, А(х)≡В(х).

Розглянемо деяку імплікацію А(х)→В(х), де хєХ. Нехай вона істинна при всіх хєХ. Якщо такі умови виконуються, то предикат А(х) називають достатньою умовою для предиката В(х), а предикат В(х) – необхідною умовою для предиката А(х). Якщо одночасно А(х)→В(х)=1 і В(х)→А(х)=1 при всіх хєХ, то кожен із предикатів називають необхідною і достатньою умовою для іншого. Теореми, які сформульовані у термінах необхідно і достатньо, називають ознаками. Прикладом ознак є ознаки подільності чисел, ознаки паралелограма, паралельності прямих і площин тощо.

Логічні операції над висловленнями (, , →, ↔, ) до певної міри відповідали сполучникам, словосполученням, частці „не”. Квантор існування можна розглядати як узагальнення диз'юнкції. Дійсно, нехай Х=а₁, а₂, а₃,...а_к Р(х), де хХ, тоді висловлення... (х)Р(х) рівносильне диз'юнкції Р(а₁)Р(а₂)...Р(а_к). Квантор загальності можна розглядати, як узагальнення операції кон'юнкції. Дійсно, якщо Р(х), де хХ=а₁, а₂, а₃,..., а_к, то висловлення (х)Р(х) рівносильне кон'юнкції Р(а₁) Р(а₂)...  Р(а_к). Не важко здогадатися, що операції об’єднання в алгебрі множин відповідає операція диз’юнкції із алгебри висловлень, операції перетину – операція кон’юнкції, операції доповнення – операція заперечення. Ми з Вами розглянули основні операції алгебри висловлень та їх основні властивості (ав=ва, ав=ва, а(вс)=(ав)с, а(вс)=(ав)с, а(вс)=(ав)(ас), а(вс)=(ав)(ас), а0=0а=а, а0=0а=0, а1=1а=1, а1=1а=а, аа=а, аа=а тощо). Побудувавши таблиці істинності можна довести справедливість наступних законів:

1. аа=1 – закон виключеного третього.

2. а а = 0 – закони несуперечливості

­­­­­­­­­­­­ а  а = 1