Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекції з матем - заоч. від. - 3 Р.Н.doc
Скачиваний:
100
Добавлен:
18.11.2019
Размер:
3.65 Mб
Скачать

Розв’язання.

Оскільки 3=1,7320508… і 2=1,4142135…, то знайдемо десяткові наближення цих чисел з точністю до сотих. Маємо 1,73≤3≤1,74 і 1,41≤2≤1,42. Тоді 1,73-1,42≤3-2≤1,74-1,41. Отже, 0,31≤3-2≤0,33. Випадки а) і б) пропонуємо студентам розглянути самостійно.

5. Множення та ділення додатних дійсних чисел.

5. Розглянемо правила множення та ділення додатних дійсних чисел. Для цього пригадаємо, що нерівності одного смислу з додатними числами можна почленно множити. Розглянемо два дійсних числа α і β з їхніми відповідними наближеннями αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′, де α≥0 і β≥0. Можна стверджувати справедливість наступної нерівності: αn′•βn′≤αn•βn≤αn′′•βn′′, яка дозволяє сформулювати наступне правило множення додатних дійсних чисел.

Правило: добуток двох додатних дійсних чисел α і β більший або дорівнює значення добутку десяткових наближень цих чисел, взятих з недостачею та менший або дорівнює значення добутку десяткових наближень цих чисел, взятих з надлишком.

Символічно маємо таку нерівність: αn′•βn′≤αn•βn≤αn′′•βn′′. Це правило можна поширити на будь-яку скінченну кількість співмножників. Проілюструємо застосування цього правила на наступних прикладах.

Вправа: знайти добуток дійсних чисел α=0,121121112… і β=1,242242224… з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих; г) тисячних.

Розв’язання.

Десятковим наближенням числа α до тисячних з недостачею буде 0,121, а з надлишком – 0,122. Для числа β будемо відповідно мати 1,242 і 1,243. Тепер можна за сформульованим правилом визначити значення суми чисел α і β з точністю до тисячних: 0,121•1,242≤α•β≤0,122•1,243. Отже, 0,150≤α•β≤0,152. Решту випадків пропонуємо студентам розглянути самостійно.

Виходячи із означення добутку дійсних чисел легко довести справедливість такої теореми.

Теорема: добуток дійсних чисел існує, єдиний, підкоряється комутативному та асоціативному законам і пов'язаний з дією додавання дистрибутивним законом.

Символічно цю теорему можна записати так: 1) (α,βєR)(!γєR)(α•β=γ); 2) (α,βєR)(α•β=β•α); 3) (α,β,γєR)((α•β)•γ=α•(β•γ)); 4) (α,β,γєR)(α•(β+γ)=α•β+α•γ).

Означення: часткою двох дійсних чисел α і β≠0 називають таке третє дійсне число γ, яке в добутку з числом β дає число α.

Символічно це означення можна записати так: (γ=α:β)↔(β•γ=α). Легко довести справедливість такої теореми та переконатися у справедливості наступного правила.

Теорема: частка двох дійсних чисел α і β≠0 завжди існує та єдина.

Правило: щоб знайти частку двох дійсних чисел α і β≠0 потрібно ділене помножити на число, обернене до дільника.

Символічно це виглядає так α:β=α•( ). Наприклад: 5:3=5•( ). Для практичного виконання ділення дійсних чисел, які виражені нескінченними неперіодичними десятковими дробами, використовують їхні десяткові наближення. Якщо маємо αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′, де α≥0 і β≥0, то . Тоді n′:βn′′)≤(αnn)≤(αn′′:βn′).

Правило: частка двох дійсних чисел α і β≠0 більша або дорівнює частки числа α з недостачею та числа β з надлишком і менша або дорівнює частки числа α з надлишком і числа β з недостачею.

Символічно це означення записується так: n′:βn′′)≤(αnn)≤(αn′′:βn). Застосування правила покажемо на наступному прикладі.

Вправа: знайти частку чисел 3 і 2 з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]