Доведення:
Розглянемо трикутник АВС (див. мал. № 7.14.). Опустимо з вершини В висоту на сторону АС. Трикутник АВС розіб’ється на два прямокутних трикутника АВД і ВСД. Відповідно до аксіом площі S(АВC)=S(АВД)+S(ВСД).
Відповідно до попередньої теореми S(АВД)=1/2АДВД, S(ВСД)=1/2СДВД. Тоді S(АВС)= 1/2АДВД+1/2СДВД=1/2(АД+СД)ВД=1/2САВД. Якщо позначити сторону трикутника через а і висоту – через h, то матимемо S=1/2аh. Першу формулу виведено.
Для виведення другої формули введемо такі позначення: АВ=с, ВС=а, АС=b, ВАС=, АВС= і ВСА=. Із трикутника АВД маємо: ВД:АВ=sin. Враховуючи наші позначення, маємо: S(АВС)=1/2АСВД=1/2bсsin. Другу формулу виведено.
В
c а
А Д b С
Малюнок № 7.14.
Для виведення третьої формули пригадаємо відому із шкільного курсу математики теорему косинусів: c2=a2+b2-2abcos. Звідси маємо: cos=(a2+b2-c2):2ab. Для виведення формули Герона скористаємося формулою S=1/2аbsin. Із шкільного курсу математики відомо, що sin2=1-cos2. Звідси: sin2=1-cos2=(1-cos)(1+cos)=(1-((a2+b2-c2):2ab))(1+((a2+b2-c2):2ab))=((2ab-a2-b2+c2):2ab)((2ab+a2+b2-c2):2ab). Оскільки 2ab-a2-b2=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 і 2ab+a2+b2=(a+b)2, то дужки матимуть вигляд: ((с2-(a-b)2):2ab)(((a+b)2-с2):2ab)=1/4а2b2(с-а+b)(с+а-b)(а+b+с)(а+b-с)=1/4а2b2(а+b+с)(а+b-с)(а+с-b)(b+с-а). Якщо позначити а+b+с=2p, то а+b-с=2р-2с, а+с-b=2р-2b і b+с-а=2р-2а. Отже, маємо sin2=2р2(р-а)2(р-b)2(р-с)/1/4а2b2. Звідси sin=4/2аb(р(р-а)(р-b)(р-с)). Таким чином, S=1/22/аbаb(р(р-а)(р-b)(р-с))=(р(р-а)(р-b)(р-с)), де р=1/2(а+b+c). Третю формулу виведено.
Теорема 6: площа паралелограма обчислюється за формулами: 1) S=ah, де а – довжина сторони, h – довжина висоти, опущеної на цю сторону; 2) S=absin, де а і b – довжини суміжних сторін паралелограма, - кут між цими сторонами; 3) S=1/2d1d2sin, де d1 і d2 – діагоналі паралелограма, - кут між діагоналями.
Доведення:
Для виведення першої формули проведемо діагональ ВД і висоту ВК (див. мал. № 7.15.). Діагональ ВД поділяє паралелограм АВСД на два рівних трикутника (АВД=ВСД). Тоді S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=2S(АВД). Оскільки S(АВД)=1/2АДВК, то S(АВСД)=21/2АДВК=АДВК. Позначивши АД=а, ВК=h, маємо S(АВСД)=аh.
В С
а
А К b Д
Малюнок № 7.15.
Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=2S(АВД), АВ=а, АД=b і ВАД=. Знайдемо ВК із АВК. ВК:АВ=sin. Оскільки S(АВД)=1/2АДВК=1/2АДАВsin, то S(АВСД)=аbsin. Другу формулу також виведено.
Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d1, ВД=d2 і позначимо АОВ=. Тоді АОД=180-. S(АВСД)=2S(АВД)=2S(ВОА)+2S(АОД)=21/2ВОАОsin+21/2АООДsin(180-)=АО(ВОsin+ОДsin(180-)). Оскільки sin(180-)=sin, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sin=АОВДsin=1/2АСВДsin. Врахувавши, що ВД=d2 і АС=d1, матимемо: S(АВСД)= 1/2АСВДsin=1/2d1d2. Теорему доведено повністю.
Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=1/2(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=1/2(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.