Малюнок № 1.19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.

Властивості 1-7 доводяться за допомогою міркувань. Покажемо це на прикладі останньої властивості. У першій частині доведемо, що кожен елемент лівої частини, яка складається із впорядкованих пар, належить правій частині. Нехай пара (х;у)А(В\С). Згідно означення декартового добутку це означає, що хА і уВ\С. Якщо уВ\С, то за означенням різниці множин уВ і уС. Оскільки хА і уВ, то за означенням декартового добутку множин (х,у)АВ. Оскільки хА і уС, то (х,у)АС. Якщо (х,у)АВ і (х,у)АС, то згідно з означенням операції різниці множин (х,у)(АВ)\(АС), тобто правій частині. Пару (х,у) у лівій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить лівій частині. Таким чином, множина А(В\С) є підмножиною множини (АВ)\(АС), тобто А(В\С)(АВ)\(АС). Отже, першу частину доведено.

У другій частині доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай пара (а;в)(АВ)\(АС). Згідно означення різниці, (а;в)(АВ) і (а;в)(АС). Звідси аА і вС. Якщо (а;в)(АВ), то за означенням декартового добутку множин аА і вВ. Оскільки вВ і вС, то за означенням різниці множин вВ\С. Якщо аА і вВ\С, то за означенням декартового добутку множин (а;в)А(В\С), тобто лівій частині. Пару (а;в) у правій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить правій частині. Таким чином, множина (АВ)\(АС) є підмножиною множини А(В\С), тобто (АВ)\(АС)А(В\С). Отже, другу частину доведено.

Таким чином, у першій частині ми довели, що (А(В\С))((АВ)\(АС)), а у другій – ((АВ)\(АС))(А(В\С)). Звідси на основі означення рівності множин маємо рівність А(В\С)=(АВ)\(АС), тобто справедливість властивості доведено повністю.

Спробуємо знайти залежність, яка б допомогла шукати число елементів декартового добутку множин, якщо відомо число елементів вихідних множин. Нехай А={1, 2, 3} і В={а, в}. Утворимо множину АВ={(1;а ), (1;в), (2;в), (3;а), (3;в)}. Легко бачити, що n(А)=3, n(В)=2 і n(АВ)=6, тобто n(АВ)=n(А)·n(В). У математиці для загального випадку доведено теорему: „Число елементів декартового добутку множин А₁, А₂, А_3, ... ,А_к, що мають відповідно n_1, n_2, n_3,...,n_k елементів дорівнює добутку чисельностей цих множин, тобто n(А₁А₂А₃…А_к)=n(А₁)n(А₂)n(А₃)…n(А_к)=n_1,n_2,n_3, ..., n_k”.

Як же визначити число елементів об’єднання двох скінченних множин? Для цього доведеться розглядати два випадки: 1) множини А і В не мають спільних множин, тобто АВ=; 2) множини А і В мають спільні елементи, тобто АВ. У першому випадку використовується формула n(АВ)=n(А)+n(В), а в другому - n(АВ)=n(А)+n(В)–n(АВ). Чи можна поширити ці формули на будь-яке число елементів? – математика дає на це ствердну відповідь, тобто справедлива формула: n(А₁А₂А₃...А_к)=n(А₁)+n(А₂)+n(А₃)+...+n(А_к), коли множини попарно не перетинаються.

Модуль 1: «Множини. Відповідності Відношення.». Змістовний модуль1.2. «Відповідності та відношення.». План.

1. Поняття відповідності між елементами двох множин, бінарні відповідності, їх позначення та способи задання. Множина відправлення та множина прибуття відповідності. Образи і прообрази елементів і множин, їх позначення.

2. Типи відповідностей (порожня, повна, всюди визначена у множині відправлення, сюр’єктивна, інє’ктивна, функціональна відповідність або функція, відображення, бієктивна). Обернені функції та відображення.

3. Бінарні відношення між елементами однієї множини, способи їхнього задання та їх властивості: рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, асиметричність, антисиметричність, транзитивність, антитранзитивність.

4. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.

ЛІТЕРАТУРА: [1] –с. 3-40; [2] –с. 11-88; [3] –с. 5-56.

1. Поняття відповідності між елементами двох множин, бінарні відповідності, їх позначення та способи задання. Множина відправлення та множина прибуття відповідності. Образи і прообрази елементів і множин, їх позначення.

1. Теорія множин вивчає множини та операції над ними. Розглядаючи це не цікавляться, як правило, природою елементів, із яких складається множина, способом задання множин і порядком розміщення елементів у множині. Разом з тим, математична теорія завжди прагне знайти своє застосування до розв’язування практичних задач. Як же це відбувається з теорією множин? – її застосовують до побудови математичних теорій, до розв’язування практичних завдань, розглядаючи множини, між елементами яких існують ті чи інші відношення. Прикладом таких відношень у повсякденному житті є родинні відношення між людьми, відношення на роботі між колегами, в математиці – це відношення паралельності, подільності, рівності тощо.

Слід зазначити, що поняття відповідності, відношення розуміють майже однозначно. Однак таке розуміння носить інтуїтивний, а не точний характер. Для вивчення різноманітних відношень між математичними об’єктами інтуїтивне поняття «відношення» слід уточнити, але так, щоб воно набуло цілком конкретного математичного змісту і в той же час не втратило своєї інтуїтивної сутності. Розглянемо дві скінченні множини Х={2, 4, 6, 8} і У={2, 3}. Утворимо із елементів цих множин впорядковані пари так, щоб перша компонента пари ділилася націло на другу компоненту. Отже, матимемо таку множину пар А={(2;2), (4;2), (6;2), (8;2), (6;3)}. Утворимо тепер декартів добуток множин Х і У: Х×У={(2;2), (2;3), (4;2), (4;3), (6;2), (6;3), (8;2), (8;3)}. Що можна сказати про множини А і Х×У? – множина А є підмножиною множини Х×У, тобто АХ×У. Враховуючи це, можна ввести таке означення поняття відношення:

Означення: бінарним відношенням, визначеним між елементами множин Х і У, називається будь-яка підмножина декартового добутку цих множин Х і У.

Означення: відповідністю між множинами Х і У називається трійка множин Х, У і GХ×У.

Множину Х називають множиною відправлення або областю визначення відповідності, множину У – множиною прибуття або множиною значень відповідності, а множину впорядкованих пар GХ×У, які перебувають у відповідності, - графіком відповідності. Домовилися відповідності позначати малими буквами грецького алфавіту α, β, γ, δ, ε та ін. Символічний запис α={GХ×У} означає, що задано відповідність між елементами множин Х і У. Якщо елементи пари (х;у) перебувають у відповідності α, то це позначають так: хαу і читають «елемент у відповідає елементу х у відповідності α». Інколи відповідності позначають і великими буквами латинського алфавіту R, S, T, наприклад: хRу, аSв тощо. Слід зазначити, що уже в початкових класах діти знайомляться з відповідностями та відношеннями. Так, молодші школярі розглядають відношення рівності, більше, менше тощо.

Коли ж відповідність вважається заданою та які способи задання відповідностей існують? – тоді, коли відносно будь-якої пари можна сказати належить чи не належить вона відповідності. Оскільки відповідність є підмножиною декартового добутку множин, то цілком логічно припустити, що відповідності можна задати всіма тими способами, якими задавався декартів добуток множин, а саме: 1) переліком всіх пар елементів, які перебувають у цій відповідності; 2) за допомогою характеристичної властивості; 3) таблицею; 4) рівнянням; 5) графіком; 6) графом. Не всі вказані способи задання відповідностей рівнозначні, а найзручнішим буде той, який потрібен саме для конкретної відповідності (пропонуємо виконати завдання № 38 для самостійної роботи!).

Отже, виникає запитання «чи однакові всі відповідності та як виділяти в них різні типи?». Перед тим, як знайти відповіді на ці запитання, розглянемо питання про образи та прообрази елементів у відповідності.

Означення: образом елемента аєА у відповідності αА×В називають множину тих елементів вєВ, для яких (а;в)єα.

Означення: прообразом елемента вєВ у відповідності αА×В називають множину тих елементів аєА, для яких (а;в)єα.

Домовилися образ елемента аєА у відповідності αА×В позначати α(а). Прообраз елемента вєВ при цій же відповідності αА×В будемо позначати так: α^-1(а). Нехай відповідність задана графом (див. малюнок № 1.20.).