Доведення:

Розглянемо скінченні множини А, В і С такі, що n(А)=а, n(В)=b, n(С)=с, АВ=, АС=, ВС=. Утворимо множину АВС, для якої справедливий асоціативний закон, тобто: (АВ)С=А(ВС). Звідси випливає: n((АВ)С)=n(А(ВС)). Таким чином: n(АВ)+n(С)=n(А)+n(ВС). Далі: (n(А)+n(В))+n(С)=n(А)+(n(В)+n(С)). Отже, маємо: (а+b)+с=а+(b+с). Теорему доведено.

7. Віднімання цілих невід’ємних чисел, зв'язок віднімання з додаванням. Теореми про існування та єдиність різниці.

7. Визначення операції віднімання на множині натуральних чисел можна провести двома способами: 1) на основі операції віднімання множин; 2) як дії, оберненої до дії додавання. Для введення першого означення розглянемо скінченні множини А і В такі, що n(А)=а, n(В)=b і ВА. Тепер приймемо таке означення: “Різницею натуральних чисел а і b називається число елементів у доповненні множини В до множини А, тобто а-b=n(А\В)”. Число а називається зменшуваним, число b – від’ємником, число а-b – різницею чисел а і b. Операція знаходження різниці чисел називається операцією віднімання. Зв'язок дій віднімання та додавання проявляється в тому, що: по-перше, знаючи суму і один доданок, можна знайти інший доданок; по-друге, результат дії віднімання перевіряється дією додавання. Отже, ці дії є взаємно оберненими. Оскільки в означенні нічого не говориться про існування та єдиність різниці, то потрібно довести наступні теореми:

Теорема 4: різниця двох натуральних чисел а і b існує тоді і тільки тоді, коли аb.

Доведення:

Розглянемо скінченні множини А і В такі, що n(А)=а, n(В)=b, АВ= і ВА. Тоді n(А)n(В), тобто аb. Оскільки А\А=, то n(А\А)=n(А)-n(А)=n(), тобто а-а=0. Це означає, що при а=а різниця а-а існує. З іншого боку: оскільки А=В(А\В) і В(А\В)=, то n(А)=n(В(А\В))=n(В)+n(А\В). Тоді а=b+(а-b). Отже, при а>b різниця також існує. Теорему доведено.

Остання рівність дає змогу прийняти інше означення різниці: “Різницею двох натуральних чисел а і b називається таке третє число а-b, яке в сумі з числом b дає нам число а”. Зазначимо, що обидва означення рівносильні та що дія віднімання є оберненою до дії додавання.

Теорема 5: якщо різниця натуральних чисел існує, то вона єдина.

Доведення:

Доведення теореми проведемо методом від супротивного, тобто припустимо, що існує не одна, а принаймні дві різниці. Отже, нехай а-b=с₁ і а-b=с₂, причому с₁с₂. За означенням різниці маємо: а=b+с₁ і а=b+с₂. Звідси b+с₁=b+с₂, а за властивістю монотонності суми маємо: с₁=с₂, що суперечить вибору с₁ і с₂. Ця суперечність дозволяє твердити про те, що наше припущення про не єдиність різниці було хибним. Таким чином, якщо різниця існує, то вона єдина. Теорема доведена.

8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).

8. Для визначення операції множення на множині натуральних чисел також можна використати два підходи. Згідно з першим, операція множення визначається на основі операції декартового добутку множин. Розглянемо дві скінченні множини А і В такі, що n(А)=а і n(В)=b. Тепер приймемо таке означення: “Добутком натурального числа а на натуральне число b називається число елементів декартового добутку а-елементної множини А на b-елементну множину В, тобто аb=n(А)●n(В)=n(АВ)”.

Для введення іншого означення розглянемо b скінченних еквівалентних між собою множин А₁, А₂, А₃, ... А_b таких, що А₁А₂А₃...А_b і n(А₁)=n(А₂)=n(А₃)=...=n(А_b)=а. Тепер приймемо таке означення добутку натуральних чисел а і b: “Добутком натурального числа а на натуральне число b, b>1, називають суму b доданків, кожний із яких дорівнює а”. Якщо накласти умову, що множини А₁, А₂, А₃, ... А_b не мають спільних елементів, то аb=n(А₁А₂А₃...А_b)=n(А₁)●n(А₂)●n(А₃)●...●n(А_b)=аb. Оскільки доданків не може бути менше, ніж два, то для множення на 0 і на 1 вводяться додаткові означення: “а0=0 і а1=а”. Число а називають першим множником, число b – другим множником, число аb – добутком. Операцію, за допомогою якої знаходять добуток називають множенням. Число а інколи називають множеним, а число b - множником.

У жодному із наведених нами означень, які еквівалентні між собою, нічого не говориться про існування та єдиність операції множення та про властивості, яким вона задовольняє. Саме тому слід довести наступні теореми.

Теорема 6. (про існування та єдиність добутку): якими б не були цілі невід’ємні числа a і b завжди існує єдине ціле невід’ємне число ab, яке є їх добутком.